Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)} d x$

Schritt 1

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} e^{\tan (x)} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2

Sei $u = \tan (x)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \tan (x)$ ein.

$u_{lower} = \tan (0)$

Schritt 2.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \tan (x)$ ein.

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

Schritt 2.5

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{1} e^{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{u}]_{0}^{1}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $e^{u}$ bei $1$ und $0$ .

$(e^{1}) - e^{0}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache.

$e - e^{0}$

Schritt 4.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e - 1 \cdot 1$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e - 1$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e - 1$

Dezimalform:

$1.71828182 \dots$