Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (x) d x$

Schritt 1

Das Integral von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Berechne $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Schritt 2.2.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Schritt 2.2.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Schritt 2.2.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 2.2.6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.3.1.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.2

$\sqrt{2} + 1$ ist ungefähr $2.41421356$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

Schritt 2.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

Schritt 2.3.3

Dividiere $\sqrt{2} + 1$ durch $1$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

Dezimalform:

$0.88137358 \dots$