Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\sqrt{19}} 7 x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Schritt 1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int_{0}^{\sqrt{19}} x \sqrt[3]{8 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 8 + x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 8 + x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $8 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 + x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Schritt 2.1.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 8 + x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 8 + 0^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 8 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $8$ und $0$ .

$u_{lower} = 8$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 8 + x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 8 + {\sqrt{19}}^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe ${\sqrt{19}}^{2}$ als $19$ um.

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Schritt 2.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{19}$ als $19^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u_{upper} = 8 + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.5.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.5.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 8 + 19^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.5.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = 8 + 19^{1}$

Schritt 2.5.1.5

Berechne den Exponenten.

$u_{upper} = 8 + 19$

Schritt 2.5.2

Addiere $8$ und $19$ .

$u_{upper} = 27$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 8$

$u_{upper} = 27$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$7 \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\sqrt[3]{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$7 \int_{8}^{27} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$7 (\frac{1}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u)$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $7$ .

$\frac{7}{2} \int_{8}^{27} \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{7}{2} \int_{8}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{7}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{8}^{27}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ bei $27$ und $8$ .

$\frac{7}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.4

Potenziere $3$ mit $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.5

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $81$ .

$\frac{7}{2} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.7

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 7.2.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Schritt 7.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})})$

Schritt 7.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 2^{4})$

Schritt 7.2.10

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 16)$

Schritt 7.2.11

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 16 (\frac{3}{4}))$

Schritt 7.2.12

Kombiniere $- 16$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 16 \cdot 3}{4})$

Schritt 7.2.13

Mutltipliziere $- 16$ mit $3$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 48}{4})$

Schritt 7.2.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 48$ und $4$ .

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Schritt 7.2.14.1

Faktorisiere $4$ aus $- 48$ heraus.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4})$

Schritt 7.2.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.14.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 (1)})$

Schritt 7.2.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{4 \cdot - 12}{4 \cdot 1})$

Schritt 7.2.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12}{1})$

Schritt 7.2.14.2.4

Dividiere $- 12$ durch $1$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 12)$

Schritt 7.2.15

Um $- 12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} - 12 \cdot \frac{4}{4})$

Schritt 7.2.16

Kombiniere $- 12$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{243}{4} + \frac{- 12 \cdot 4}{4})$

Schritt 7.2.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{2} \cdot \frac{243 - 12 \cdot 4}{4}$

Schritt 7.2.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.18.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $4$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{243 - 48}{4}$

Schritt 7.2.18.2

Subtrahiere $48$ von $243$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{195}{4}$

Schritt 7.2.19

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $\frac{195}{4}$ .

$\frac{7 \cdot 195}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.2.20

Mutltipliziere $7$ mit $195$ .

$\frac{1365}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.2.21

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1365}{8}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1365}{8}$

Dezimalform:

$170.625$

Darstellung als gemischte Zahl:

$170 \frac{5}{8}$

Schritt 9