Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\sqrt[4]{π}} x^{3} \cos (x^{4}) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 0^{2}$

Schritt 1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = x^{2}$ ein.

$u_{upper} = {\sqrt[4]{π}}^{2}$

Schritt 1.5

Schreibe ${\sqrt[4]{π}}^{2}$ als $\sqrt{π}$ um.

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Schritt 1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{π}$ als $π^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Schritt 1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Schritt 1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{4}}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$u_{upper} = π^{\frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 1.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = π^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.5.5

Schreibe $π^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{π}$ um.

$u_{upper} = \sqrt{π}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{π}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ als ${u_{1}}^{2}$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u_{1}$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1}}{2} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{u_{1}}{2}$ und $\cos ({u_{1}}^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{π}} \frac{u_{1} \cos ({u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{π}} u_{1} \cos ({u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ ein.

$u_{lower} = 0^{2}$

Schritt 4.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ ein.

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

Schritt 4.5

Schreibe ${\sqrt{π}}^{2}$ als $π$ um.

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Schritt 4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{π}$ als $π^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π^{1}$

Schritt 4.5.5

Vereinfache.

$u_{upper} = π$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 5

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 8

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} \sin (u_{2})]_{0}^{π}$

Schritt 9

Berechne $\sin (u_{2})$ bei $π$ und $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) - 0)$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} (\sin (π) + 0)$

Schritt 10.3

Addiere $\sin (π)$ und $0$ .

$\frac{1}{4} \sin (π)$

Schritt 10.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sin (π)$ .

$\frac{\sin (π)}{4}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{\sin (0)}{4}$

Schritt 11.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{4}$

Schritt 11.2

Dividiere $0$ durch $4$ .

$0$