Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x^{2} {(3 x^{3} - 1)}^{4} d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 x^{3} - 1$ . Dann ist $d u = 9 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 x^{3} - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$9 x^{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 x^{3} - 1$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{3} - 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 - 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 x^{3} - 1$ ein.

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{3} - 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 - 1$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$u_{upper} = 3 - 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 1}^{2} u^{4} \frac{1}{9} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{4}$ und $\frac{1}{9}$ .

$\int_{- 1}^{2} \frac{u^{4}}{9} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{9} \int_{- 1}^{2} u^{4} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{9} \frac{1}{5} u^{5}]_{- 1}^{2}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{5} u^{5}$ bei $2$ und $- 1$ .

$\frac{1}{9} ((\frac{1}{5} \cdot 2^{5}) - \frac{1}{5} {(- 1)}^{5})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{5} \cdot 32 - \frac{1}{5} {(- 1)}^{5})$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $32$ .

$\frac{1}{9} (\frac{32}{5} - \frac{1}{5} {(- 1)}^{5})$

Schritt 5.2.3

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{1}{9} (\frac{32}{5} - \frac{1}{5} \cdot - 1)$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{9} (\frac{32}{5} + 1 (\frac{1}{5}))$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{9} (\frac{32}{5} + \frac{1}{5})$

Schritt 5.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{32 + 1}{5}$

Schritt 5.2.7

Addiere $32$ und $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{33}{5}$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{33}{5}$ .

$\frac{33}{9 \cdot 5}$

Schritt 5.2.9

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$\frac{33}{45}$

Schritt 5.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $33$ und $45$ .

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Schritt 5.2.10.1

Faktorisiere $3$ aus $33$ heraus.

$\frac{3 (11)}{45}$

Schritt 5.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $45$ heraus.

$\frac{3 \cdot 11}{3 \cdot 15}$

Schritt 5.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 11}{3 \cdot 15}$

Schritt 5.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{11}{15}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{11}{15}$

Dezimalform:

$0.7\overline{3}$

Schritt 7