Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$ als $\frac{d}{d x} [x - 1]$ um.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]$

Schritt 1.1.2.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 1.1.2.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]$

Schritt 1.1.2.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 1.1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.6

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ ein.

$u_{lower} = \sqrt{0^{2} - 2 \cdot 0 + 1}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 - 2 \cdot 0 + 1}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 0 + 1}$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 1}$

Schritt 1.3.4

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{1}$

Schritt 1.3.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ ein.

$u_{upper} = \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 + 1}$

Schritt 1.5.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{- 1 + 1}$

Schritt 1.5.4

Addiere $- 1$ und $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{0}$

Schritt 1.5.5

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$u_{upper} = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.5.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{0} u d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{1}{2} u^{2}$ bei $0$ und $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 3.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.5

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.5$

Schritt 5