Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} 8 \sqrt[8]{x} d x$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int_{0}^{1} \sqrt[8]{x} d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[8]{x}$ als $x^{\frac{1}{8}}$ neu zu schreiben.

$8 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{8}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{8}}$ nach $x$ gleich $\frac{8}{9} x^{\frac{9}{8}}$ .

$8 (\frac{8}{9} x^{\frac{9}{8}}]_{0}^{1})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{8}{9}$ und $x^{\frac{9}{8}}$ .

$8 (\frac{8 x^{\frac{9}{8}}}{9}]_{0}^{1})$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{8 x^{\frac{9}{8}}}{9}$ bei $1$ und $0$ .

$8 ((\frac{8 \cdot 1^{\frac{9}{8}}}{9}) - \frac{8 \cdot 0^{\frac{9}{8}}}{9})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$8 (\frac{8 \cdot 1}{9} - \frac{8 \cdot 0^{\frac{9}{8}}}{9})$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 (\frac{8}{9} - \frac{8 \cdot 0^{\frac{9}{8}}}{9})$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe $0$ als $0^{8}$ um.

$8 (\frac{8}{9} - \frac{8 \cdot {(0^{8})}^{\frac{9}{8}}}{9})$

Schritt 4.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 (\frac{8}{9} - \frac{8 \cdot 0^{8 (\frac{9}{8})}}{9})$

Schritt 4.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 4.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 (\frac{8}{9} - \frac{8 \cdot 0^{8 (\frac{9}{8})}}{9})$

Schritt 4.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$8 (\frac{8}{9} - \frac{8 \cdot 0^{9}}{9})$

Schritt 4.2.2.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$8 (\frac{8}{9} - \frac{8 \cdot 0}{9})$

Schritt 4.2.2.7

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$8 (\frac{8}{9} - \frac{0}{9})$

Schritt 4.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $9$ .

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Schritt 4.2.2.8.1

Faktorisiere $9$ aus $0$ heraus.

$8 (\frac{8}{9} - \frac{9 (0)}{9})$

Schritt 4.2.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.8.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$8 (\frac{8}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 (\frac{8}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 (\frac{8}{9} - \frac{0}{1})$

Schritt 4.2.2.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$8 (\frac{8}{9} - 0)$

Schritt 4.2.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$8 (\frac{8}{9} + 0)$

Schritt 4.2.2.10

Addiere $\frac{8}{9}$ und $0$ .

$8 (\frac{8}{9})$

Schritt 4.2.2.11

Kombiniere $8$ und $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8 \cdot 8}{9}$

Schritt 4.2.2.12

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$\frac{64}{9}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{64}{9}$

Dezimalform:

$7.\overline{1}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$7 \frac{1}{9}$

Schritt 6