Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \ln (x^{2} + 1) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x^{2} + 1)$ und $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 5

Dividiere $x^{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Schritt 9.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x)]_{0}^{1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $\ln (x^{2} + 1) x$ bei $1$ und $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Schritt 11.2

Berechne $x$ bei $1$ und $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 ((1) + 0 - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Schritt 11.3

Berechne $\arctan (x)$ bei $1$ und $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Schritt 11.4

Vereinfache.

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Schritt 11.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\ln (1 + 1) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Schritt 11.4.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (2) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Schritt 11.4.3

Mutltipliziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$\ln (2) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Schritt 11.4.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\ln (2) - \ln (0 + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Schritt 11.4.5

Addiere $0$ und $1$ .

$\ln (2) - \ln (1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Schritt 11.4.6

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\ln (2) + 0 \ln (1) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Schritt 11.4.7

Mutltipliziere $0$ mit $\ln (1)$ .

$\ln (2) + 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Schritt 11.4.8

Addiere $\ln (2)$ und $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Schritt 11.4.9

Addiere $1$ und $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - \arctan (0)))$

Schritt 12.1.1.2

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - 0))$

Schritt 12.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} + 0))$

Schritt 12.1.2

Addiere $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - \frac{π}{4})$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (2) - 2 \cdot 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\ln (2) - 2 - 2 (- \frac{π}{4})$

Schritt 12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{4}$ in den Zähler.

$\ln (2) - 2 - 2 \frac{- π}{4}$

Schritt 12.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\ln (2) - 2 + 2 (- 1) \frac{- π}{4}$

Schritt 12.4.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\ln (2) - 2 - \frac{- π}{2}$

Schritt 12.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (2) - 2 - - \frac{π}{2}$

Schritt 12.5.2

Multipliziere $- - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 12.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (2) - 2 + 1 \frac{π}{2}$

Schritt 12.5.2.2

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $1$ .

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Dezimalform:

$0.26394350 \dots$