Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} 6 x^{5} e^{x^{6}} d x$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int_{0}^{1} x^{5} e^{x^{6}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 0^{2}$

Schritt 2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 1^{2}$

Schritt 2.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$6 \int_{0}^{1} {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ als ${u_{1}}^{2}$ um.

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Schritt 3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$6 \int_{0}^{1} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ als ${u_{1}}^{3}$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.2.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${u_{1}}^{2}$ .

$6 \int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ und $e^{{u_{1}}^{3}}$ .

$6 \int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Schritt 6

Sei $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . Dann ist $d u_{2} = 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere ${u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

Schritt 6.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2}$

Schritt 6.2

Setze die untere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ ein.

$u_{lower} = 0^{3}$

Schritt 6.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 6.4

Setze die obere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ ein.

$u_{upper} = 1^{3}$

Schritt 6.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1$

Schritt 6.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 6.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$3 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 7

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 \int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Schritt 8

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{3} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{3}{3} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 10

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $e^{u_{2}}$ bei $1$ und $0$ .

$(e^{1}) - e^{0}$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache.

$e - e^{0}$

Schritt 11.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e - 1 \cdot 1$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e - 1$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e - 1$

Dezimalform:

$1.71828182 \dots$

Schritt 13