Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} 3 \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$3 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$3 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$3 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{1})$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ bei $1$ und $0$ .

$3 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$3 (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$3 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 4.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Schritt 4.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Schritt 4.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4})$

Schritt 4.2.2.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0}{4})$

Schritt 4.2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$3 (\frac{3}{4} - \frac{0}{4})$

Schritt 4.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 4.2.2.8.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$3 (\frac{3}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Schritt 4.2.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$3 (\frac{3}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{3}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{3}{4} - \frac{0}{1})$

Schritt 4.2.2.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$3 (\frac{3}{4} - 0)$

Schritt 4.2.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$3 (\frac{3}{4} + 0)$

Schritt 4.2.2.10

Addiere $\frac{3}{4}$ und $0$ .

$3 (\frac{3}{4})$

Schritt 4.2.2.11

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{4}$

Schritt 4.2.2.12

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9}{4}$

Dezimalform:

$2.25$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{1}{4}$

Schritt 6