Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x (4 \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{1} x (4 x^{\frac{1}{3}} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{1} x (4 x^{\frac{1}{3}} + 5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} x (4 x^{\frac{1}{3}}) + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Schritt 3.2

Stelle $x$ und $4$ um.

$\int_{0}^{1} 4 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Schritt 3.3

Stelle $x$ und $5$ um.

$\int_{0}^{1} 4 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 (x^{1} x^{\frac{1}{3}}) + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} 4 x^{1 + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{3 + 1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.8

Addiere $3$ und $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 (x^{1} x^{\frac{1}{4}}) d x$

Schritt 3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{1 + \frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.11

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4 + 1}{4}} d x$

Schritt 3.13

Addiere $4$ und $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

Schritt 3.14

Stelle $4 x^{\frac{4}{3}}$ und $5 x^{\frac{5}{4}}$ um.

$\int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} + 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Schritt 5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{5}{4}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ .

$5 (\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{4}{9}$ und $x^{\frac{9}{4}}$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Schritt 8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + 4 \int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{4}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + 4 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1})$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $x^{\frac{7}{3}}$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + 4 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1})$

Schritt 10.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Berechne $\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}$ bei $1$ und $0$ .

$5 ((\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9}) - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1})$

Schritt 10.2.2

Berechne $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ bei $1$ und $0$ .

$5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3

Vereinfache.

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Schritt 10.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (\frac{4 \cdot 1}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.3

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot {(0^{4})}^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{9}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $9$ .

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Schritt 10.2.3.8.1

Faktorisiere $9$ aus $0$ heraus.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{9 (0)}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.8.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$5 (\frac{4}{9} - 0) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$5 (\frac{4}{9} + 0) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.10

Addiere $\frac{4}{9}$ und $0$ .

$5 (\frac{4}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.11

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{9}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{9} + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.12

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.13

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3 \cdot 1}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.14

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.15

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{7}{3}}}{7})$

Schritt 10.2.3.16

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7})$

Schritt 10.2.3.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.3.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7})$

Schritt 10.2.3.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{7}}{7})$

Schritt 10.2.3.18

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0}{7})$

Schritt 10.2.3.19

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{0}{7})$

Schritt 10.2.3.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $7$ .

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Schritt 10.2.3.20.1

Faktorisiere $7$ aus $0$ heraus.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{7 (0)}{7})$

Schritt 10.2.3.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.20.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1})$

Schritt 10.2.3.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1})$

Schritt 10.2.3.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{0}{1})$

Schritt 10.2.3.20.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - 0)$

Schritt 10.2.3.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} + 0)$

Schritt 10.2.3.22

Addiere $\frac{3}{7}$ und $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7})$

Schritt 10.2.3.23

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{7}$ .

$\frac{20}{9} + \frac{4 \cdot 3}{7}$

Schritt 10.2.3.24

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{20}{9} + \frac{12}{7}$

Schritt 10.2.3.25

Um $\frac{20}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7} + \frac{12}{7}$

Schritt 10.2.3.26

Um $\frac{12}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7} + \frac{12}{7} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 10.2.3.27

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $63$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.2.3.27.1

Mutltipliziere $\frac{20}{9}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{20 \cdot 7}{9 \cdot 7} + \frac{12}{7} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 10.2.3.27.2

Mutltipliziere $9$ mit $7$ .

$\frac{20 \cdot 7}{63} + \frac{12}{7} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 10.2.3.27.3

Mutltipliziere $\frac{12}{7}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{20 \cdot 7}{63} + \frac{12 \cdot 9}{7 \cdot 9}$

Schritt 10.2.3.27.4

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$\frac{20 \cdot 7}{63} + \frac{12 \cdot 9}{63}$

Schritt 10.2.3.28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20 \cdot 7 + 12 \cdot 9}{63}$

Schritt 10.2.3.29

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.3.29.1

Mutltipliziere $20$ mit $7$ .

$\frac{140 + 12 \cdot 9}{63}$

Schritt 10.2.3.29.2

Mutltipliziere $12$ mit $9$ .

$\frac{140 + 108}{63}$

Schritt 10.2.3.29.3

Addiere $140$ und $108$ .

$\frac{248}{63}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{248}{63}$

Dezimalform:

$3.\overline{936507}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$3 \frac{59}{63}$

Schritt 12