Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x (\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}) d x$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{1} x (x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[4]{x}) d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{1} x (x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}}) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{1} x \cdot x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{1} x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} x^{1 + \frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3 + 1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.6

Addiere $3$ und $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{1} x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{1 + \frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.9

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} d x$

Schritt 3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4 + 1}{4}} d x$

Schritt 3.11

Addiere $4$ und $1$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{5}{4}} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} d x + \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{4}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{5}{4}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1}$ und $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}}) - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3}{7} \cdot 1 + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{7}$ mit $1$ .

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} \cdot 1 - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $1$ .

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.5

Um $\frac{3}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.6

Um $\frac{4}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $63$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{3}{7}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.7.2

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.7.3

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.7.4

Mutltipliziere $9$ mit $7$ .

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \cdot 9 + 4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{27 + 4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$\frac{27 + 28}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.9.3

Addiere $27$ und $28$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.10

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot {(0^{3})}^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.11

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.2.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.12.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{7} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.13

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.14

Mutltipliziere $\frac{3}{7}$ mit $0$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.15

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot {(0^{4})}^{\frac{9}{4}})$

Schritt 7.2.2.16

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})})$

Schritt 7.2.2.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.2.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})})$

Schritt 7.2.2.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{9})$

Schritt 7.2.2.18

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0)$

Schritt 7.2.2.19

Mutltipliziere $\frac{4}{9}$ mit $0$ .

$\frac{55}{63} - (0 + 0)$

Schritt 7.2.2.20

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{55}{63} - 0$

Schritt 7.2.2.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{55}{63} + 0$

Schritt 7.2.2.22

Addiere $\frac{55}{63}$ und $0$ .

$\frac{55}{63}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{55}{63}$

Dezimalform:

$0.\overline{873015}$

Schritt 9