Analysis Beispiele

$\int_{0}^{8} 8 - 4 \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{8} 8 d x + \int_{0}^{8} - 4 \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$8 x]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} - 4 \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$8 x]_{0}^{8} - 4 \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$8 x]_{0}^{8} - 4 \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$8 x]_{0}^{8} - 4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$8 x]_{0}^{8} - 4 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{8})$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne $8 x$ bei $8$ und $0$ .

$(8 \cdot 8) - 8 \cdot 0 - 4 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{8})$

Schritt 6.2.2

Berechne $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ bei $8$ und $0$ .

$8 \cdot 8 - 8 \cdot 0 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$64 - 8 \cdot 0 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$64 + 0 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3.3

Addiere $64$ und $0$ .

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3.4

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$64 - 4 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3.5

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 2^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3.7

Potenziere $2$ mit $4$ .

$64 - 4 (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$64 - 4 (\frac{48}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $4$ .

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Schritt 6.2.3.9.1

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$64 - 4 (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$64 - 4 (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 - 4 (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$64 - 4 (\frac{12}{1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3.9.2.4

Dividiere $12$ durch $1$ .

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3.10

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 6.2.3.11

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Schritt 6.2.3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.3.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Schritt 6.2.3.12.2

Forme den Ausdruck um.

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4})$

Schritt 6.2.3.13

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$64 - 4 (12 - \frac{3 \cdot 0}{4})$

Schritt 6.2.3.14

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$64 - 4 (12 - \frac{0}{4})$

Schritt 6.2.3.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 6.2.3.15.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$64 - 4 (12 - \frac{4 (0)}{4})$

Schritt 6.2.3.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.15.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$64 - 4 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 6.2.3.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 - 4 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 6.2.3.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$64 - 4 (12 - \frac{0}{1})$

Schritt 6.2.3.15.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$64 - 4 (12 - 0)$

Schritt 6.2.3.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$64 - 4 (12 + 0)$

Schritt 6.2.3.17

Addiere $12$ und $0$ .

$64 - 4 \cdot 12$

Schritt 6.2.3.18

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$64 - 48$

Schritt 6.2.3.19

Subtrahiere $48$ von $64$ .

$16$

Schritt 7