Analysis Beispiele

$\int_{0}^{7} \sqrt{4 + 3 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 + 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 + 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 + 3 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$0 + 3$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $3$ .

$3$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 4 + 3 x$ ein.

$u_{lower} = 4 + 3 \cdot 0$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $4$ und $0$ .

$u_{lower} = 4$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 4 + 3 x$ ein.

$u_{upper} = 4 + 3 \cdot 7$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$u_{upper} = 4 + 21$

Schritt 1.5.2

Addiere $4$ und $21$ .

$u_{upper} = 25$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 25$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{4}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{4}^{25} \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} \int_{4}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{25}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $25$ und $4$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.4

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $125$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $125$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 6.2.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 6.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

Schritt 6.2.10

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8)$

Schritt 6.2.11

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - 8 (\frac{2}{3}))$

Schritt 6.2.12

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

Schritt 6.2.13

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} + \frac{- 16}{3})$

Schritt 6.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} (\frac{250}{3} - \frac{16}{3})$

Schritt 6.2.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{250 - 16}{3}$

Schritt 6.2.16

Subtrahiere $16$ von $250$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{234}{3}$

Schritt 6.2.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $234$ und $3$ .

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Schritt 6.2.17.1

Faktorisiere $3$ aus $234$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3}$

Schritt 6.2.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.17.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 (1)}$

Schritt 6.2.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 78}{3 \cdot 1}$

Schritt 6.2.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{78}{1}$

Schritt 6.2.17.2.4

Dividiere $78$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 78$

Schritt 6.2.18

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $78$ .

$\frac{78}{3}$

Schritt 6.2.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $78$ und $3$ .

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Schritt 6.2.19.1

Faktorisiere $3$ aus $78$ heraus.

$\frac{3 \cdot 26}{3}$

Schritt 6.2.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.19.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 26}{3 (1)}$

Schritt 6.2.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 26}{3 \cdot 1}$

Schritt 6.2.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{26}{1}$

Schritt 6.2.19.2.4

Dividiere $26$ durch $1$ .

$26$

Schritt 7