Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} e^{t} - e^{- t} d t$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{3} e^{t} d t + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

Schritt 2

Das Integral von $e^{t}$ nach $t$ ist $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} e^{- t} d t$

Schritt 4

Sei $u = - t$ . Dann ist $d u = - d t$ , folglich $- d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = - t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 4.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = - t$ ein.

$u_{lower} = - 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = - t$ ein.

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Schritt 4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Schritt 4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{- 3} - e^{u} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{t}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\int_{0}^{- 3} e^{u} d u$ mit $1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $e^{t}$ bei $3$ und $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

Schritt 8.2

Berechne $e^{u}$ bei $- 3$ und $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + (e^{- 3}) - e^{0}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e^{3} - 1 \cdot 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{3} - 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

Schritt 8.3.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1 \cdot 1$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1$

Schritt 8.3.5

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

Dezimalform:

$18.13532399 \dots$

Schritt 10