Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} 4 - x^{2} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{2} 4 d x + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$4 x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - x^{2} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 x]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$4 x]_{0}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $4 x$ bei $2$ und $0$ .

$(4 \cdot 2) - 4 \cdot 0 - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2})$

Schritt 5.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $0$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot 0 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 - 4 \cdot 0 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$8 + 0 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 5.2.3.3

Addiere $8$ und $0$ .

$8 - (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 5.2.3.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 - (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Schritt 5.2.3.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$8 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{3})$

Schritt 5.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 5.2.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$8 - (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Schritt 5.2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$8 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 5.2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 - (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 5.2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 - (\frac{8}{3} - \frac{0}{1})$

Schritt 5.2.3.6.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$8 - (\frac{8}{3} - 0)$

Schritt 5.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$8 - (\frac{8}{3} + 0)$

Schritt 5.2.3.8

Addiere $\frac{8}{3}$ und $0$ .

$8 - \frac{8}{3}$

Schritt 5.2.3.9

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 5.2.3.10

Kombiniere $8$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}$

Schritt 5.2.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 \cdot 3 - 8}{3}$

Schritt 5.2.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.12.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{24 - 8}{3}$

Schritt 5.2.3.12.2

Subtrahiere $8$ von $24$ .

$\frac{16}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{16}{3}$

Dezimalform:

$5.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$5 \frac{1}{3}$

Schritt 7