Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} \sec^{2} (\frac{t}{4}) d t$

Schritt 1

Sei $u = \frac{t}{4}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{4} d t$ , folglich $4 d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \frac{t}{4}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\frac{t}{4}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{4}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t}{4}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = \frac{t}{4}$ ein.

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

Schritt 1.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = \frac{t}{4}$ ein.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Schritt 1.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Schritt 1.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{4}$ zu dividieren.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 4) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 4 d u$

Schritt 2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{2} (u) d u$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

Schritt 4

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$4 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Schritt 5

Berechne $\tan (u)$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$4 (\tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$4 (1 - \tan (0))$

Schritt 6.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$4 (1 - 0)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 (1 + 0)$

Schritt 6.4

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$