Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

Schritt 1

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (x)$ als $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Schritt 6

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 6.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 6.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 π$

Schritt 6.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Schritt 6.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 7

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

Schritt 9

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $x$ bei $π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

Schritt 10.2

Berechne $\sin (u)$ bei $2 π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

Schritt 10.3

Addiere $π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

Schritt 11.3

Addiere $\sin (2 π)$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

Schritt 11.4

Kombiniere $\sin (2 π)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

Schritt 12.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (π - \frac{0}{2})$

Schritt 12.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{1}{2} (π - 0)$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (π + 0)$

Schritt 12.4

Addiere $π$ und $0$ .

$\frac{1}{2} π$

Schritt 12.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{2}$

Dezimalform:

$1.57079632 \dots$