Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} 2 x e^{- x^{2}} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{1}^{2} x e^{- x^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ um.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Schritt 2.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- x^{2}} x$ um.

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ ein.

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{lower} = e^{- 1}$

Schritt 2.3.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ ein.

$u_{upper} = e^{- 2^{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$u_{upper} = e^{- 4}$

Schritt 2.5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e^{4}}$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = \frac{1}{e^{4}}$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$2 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}})$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $- \frac{u_{2}}{2}$ bei $\frac{1}{e^{4}}$ und $\frac{1}{e}$ .

$2 ((- \frac{\frac{1}{e^{4}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $\frac{\frac{1}{e^{4}}}{2}$ als ein Produkt um.

$2 (- (\frac{1}{e^{4}} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{4}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{e^{4} \cdot 2} + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Schritt 5.2.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{4}$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot e^{4}} + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Schritt 5.2.2.4

Schreibe $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ als ein Produkt um.

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{e}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{e \cdot 2})$

Schritt 5.2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e$ .

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{2 e})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}}) + 2 \frac{1}{2 e}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 e^{4}}$ in den Zähler.

$2 \frac{- 1}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 e^{4}$ heraus.

$2 \frac{- 1}{2 (e^{4})} + 2 \frac{1}{2 e}$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{- 1}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Schritt 6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e$ heraus.

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 (e)}$

Schritt 6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Schritt 6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

Dezimalform:

$0.34956380 \dots$

Schritt 8