Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 - 5 x$ . Dann ist $d u = - 5 d x$ , folglich $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 - 5 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$0 - 5$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$- 5$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 - 5 x$ ein.

$u_{lower} = 3 - 5 \cdot 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$u_{lower} = 3 - 5$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $5$ von $3$ .

$u_{lower} = - 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 - 5 x$ ein.

$u_{upper} = 3 - 5 \cdot 2$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$u_{upper} = 3 - 10$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $10$ von $3$ .

$u_{upper} = - 7$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 7$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

Schritt 2.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{- 2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{5} - u^{- 1}]_{- 2}^{- 7}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $- u^{- 1}$ bei $- 7$ und $- 2$ .

$- \frac{1}{5} ((- {(- 7)}^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{- 7} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 7.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{5} (- - \frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{5} (1 (\frac{1}{7}) + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

Schritt 7.2.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + \frac{1}{- 2})$

Schritt 7.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.7

Um $\frac{1}{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Schritt 7.2.8

Um $- \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Schritt 7.2.9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $14$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{7 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Schritt 7.2.9.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Schritt 7.2.9.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{2 \cdot 7})$

Schritt 7.2.9.4

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{14})$

Schritt 7.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{2 - 7}{14}$

Schritt 7.2.11

Subtrahiere $7$ von $2$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{- 5}{14}$

Schritt 7.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{5} (- \frac{5}{14})$

Schritt 7.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \frac{5}{14}$

Schritt 7.2.14

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{14}$

Schritt 7.2.15

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{5}{14}$ .

$\frac{5}{5 \cdot 14}$

Schritt 7.2.16

Mutltipliziere $5$ mit $14$ .

$\frac{5}{70}$

Schritt 7.2.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $70$ .

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Schritt 7.2.17.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (1)}{70}$

Schritt 7.2.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.17.2.1

Faktorisiere $5$ aus $70$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

Schritt 7.2.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

Schritt 7.2.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{14}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{14}$

Dezimalform:

$0.0\overline{714285}$

Schritt 9