Analysis Beispiele

$\int_{1}^{3} x \sin (π x^{2}) d x$

Schritt 1

Sei $u = π x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 \cdot x π d x$ , folglich $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = π x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x^{2}$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$π (2 x)$

Schritt 1.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π x$

Schritt 1.1.5

Stelle $2 π$ und $x$ um.

$x (2 π)$

Schritt 1.1.6

Stelle $x$ und $2$ um.

$2 \cdot x π$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = π x^{2}$ ein.

$u_{lower} = π \cdot 1^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{lower} = π \cdot 1$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$u_{lower} = π$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = π x^{2}$ ein.

$u_{upper} = π \cdot 3^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$u_{upper} = π \cdot 9$

Schritt 1.5.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $π$ .

$u_{upper} = 9 π$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 9 π$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{π}^{9 π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2 π}$ .

$\int_{π}^{9 π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2 π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2 π}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2 π} \int_{π}^{9 π} \sin (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{π}^{9 π}$

Schritt 5

Berechne $- \cos (u)$ bei $9 π$ und $π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (9 π) + \cos (π))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (π))$

Schritt 6.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + \cos (π))$

Schritt 6.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + \cos (π))$

Schritt 6.1.4

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + \cos (π))$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 + \cos (π))$

Schritt 6.1.5

$\frac{1}{2 π} (1 - \cos (0))$

Schritt 6.1.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1 \cdot 1)$

Schritt 6.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1)$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2 π}$ mit $0$ .

$0$