Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}} d x$

Schritt 1

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}]_{1}^{4}$

Schritt 2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 2.1

Berechne $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ bei $4$ und $1$ .

$(\frac{2}{7} \cdot 4^{\frac{7}{2}}) - \frac{2}{7} \cdot 1^{\frac{7}{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2}{7} \cdot {(2^{2})}^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{7} \cdot 1^{\frac{7}{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{7} \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})} - \frac{2}{7} \cdot 1^{\frac{7}{2}}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{7} \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})} - \frac{2}{7} \cdot 1^{\frac{7}{2}}$

Schritt 2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{7} \cdot 2^{7} - \frac{2}{7} \cdot 1^{\frac{7}{2}}$

Schritt 2.2.4

Potenziere $2$ mit $7$ .

$\frac{2}{7} \cdot 128 - \frac{2}{7} \cdot 1^{\frac{7}{2}}$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{2}{7}$ und $128$ .

$\frac{2 \cdot 128}{7} - \frac{2}{7} \cdot 1^{\frac{7}{2}}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $128$ .

$\frac{256}{7} - \frac{2}{7} \cdot 1^{\frac{7}{2}}$

Schritt 2.2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{256}{7} - \frac{2}{7} \cdot 1$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{256}{7} - \frac{2}{7}$

Schritt 2.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{256 - 2}{7}$

Schritt 2.2.10

Subtrahiere $2$ von $256$ .

$\frac{254}{7}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{254}{7}$

Dezimalform:

$36.28571428 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$36 \frac{2}{7}$

Schritt 4