Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} 5 - 2 x + 3 x^{2} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{4} 5 d x + \int_{1}^{4} - 2 x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$5 x]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 2 x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Schritt 3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$5 x]_{1}^{4} - 2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x^{2} d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$5 x]_{1}^{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Berechne $5 x$ bei $4$ und $1$ .

$(5 \cdot 4) - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $4$ und $1$ .

$5 \cdot 4 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

Schritt 8.2.3

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $4$ und $1$ .

$5 \cdot 4 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$20 - 5 \cdot 1 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$20 - 5 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.3

Subtrahiere $5$ von $20$ .

$15 - 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$15 - 2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$15 - 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$15 - 2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.5.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$15 - 2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$15 - 2 (8 - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.7

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$15 - 2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.8

Kombiniere $8$ und $\frac{2}{2}$ .

$15 - 2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$15 - 2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.4.10.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$15 - 2 \frac{16 - 1}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.10.2

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$15 - 2 (\frac{15}{2}) + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.11

Kombiniere $- 2$ und $\frac{15}{2}$ .

$15 + \frac{- 2 \cdot 15}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.12

Mutltipliziere $- 2$ mit $15$ .

$15 + \frac{- 30}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 30$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.4.13.1

Faktorisiere $2$ aus $- 30$ heraus.

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.4.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2 (1)} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$15 + \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 1} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$15 + \frac{- 15}{1} + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.13.2.4

Dividiere $- 15$ durch $1$ .

$15 - 15 + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.14

Subtrahiere $15$ von $15$ .

$0 + 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.15

Potenziere $4$ mit $3$ .

$0 + 3 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 8.2.4.16

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 + 3 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

Schritt 8.2.4.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + 3 \frac{64 - 1}{3}$

Schritt 8.2.4.18

Subtrahiere $1$ von $64$ .

$0 + 3 (\frac{63}{3})$

Schritt 8.2.4.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $63$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.4.19.1

Faktorisiere $3$ aus $63$ heraus.

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3}$

Schritt 8.2.4.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.4.19.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

Schritt 8.2.4.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + 3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

Schritt 8.2.4.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + 3 (\frac{21}{1})$

Schritt 8.2.4.19.2.4

Dividiere $21$ durch $1$ .

$0 + 3 \cdot 21$

Schritt 8.2.4.20

Mutltipliziere $3$ mit $21$ .

$0 + 63$

Schritt 8.2.4.21

Addiere $0$ und $63$ .

$63$

Schritt 9