Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} x^{2} + \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}$ und $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ bei $4$ und $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $64$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2}{3} \cdot 8 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.7

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $8$ .

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{64}{3} + \frac{16}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{64 + 16}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.10

Addiere $64$ und $16$ .

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.12

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 5.2.2.13

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1)$

Schritt 5.2.2.14

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{80}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3})$

Schritt 5.2.2.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{80}{3} - \frac{1 + 2}{3}$

Schritt 5.2.2.16

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{80}{3} - \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.2.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{80}{3} - \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.2.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{80}{3} - 1 \cdot 1$

Schritt 5.2.2.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{80}{3} - 1$

Schritt 5.2.2.19

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.2.20

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{80}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.2.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{80 - 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.2.22

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.22.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{80 - 3}{3}$

Schritt 5.2.2.22.2

Subtrahiere $3$ von $80$ .

$\frac{77}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{77}{3}$

Dezimalform:

$25.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$25 \frac{2}{3}$

Schritt 7