Analysis Beispiele

$\int_{2}^{4} 6 x \ln (x) d x$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int_{2}^{4} x \ln (x) d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Schritt 3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Schritt 3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Schritt 3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x}{2} d x)$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x d x))$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}$ und $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Schritt 6.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Berechne $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ bei $4$ und $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Schritt 6.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $4$ und $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$6 (\frac{\ln (4) \cdot 16}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.2

Bringe $16$ auf die linke Seite von $\ln (4)$ .

$6 (\frac{16 \cdot \ln (4)}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 6.2.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $16 \ln (4)$ heraus.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 (1)} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 (\frac{8 \ln (4)}{1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.3.2.4

Dividiere $8 \ln (4)$ durch $1$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.2.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \ln (2)$ heraus.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.6.2.4

Dividiere $2 \ln (2)$ durch $1$ .

$6 (8 \ln (4) - (2 \ln (2)) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.8

Potenziere $4$ mit $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 6.2.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.9.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{4}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.2.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})$

Schritt 6.2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}{2})$

Schritt 6.2.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}{2})$

Schritt 6.2.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2}{1}}{2})$

Schritt 6.2.3.11.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 1 \cdot 2}{2})$

Schritt 6.2.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 2}{2})$

Schritt 6.2.3.13

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{6}{2})$

Schritt 6.2.3.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 6.2.3.14.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2})$

Schritt 6.2.3.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 (1)})$

Schritt 6.2.3.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1})$

Schritt 6.2.3.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{3}{1})$

Schritt 6.2.3.14.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 1 \cdot 3)$

Schritt 6.2.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 3)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (8 \ln (4)) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$6 (8 \ln (2^{2})) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Schritt 7.2.2

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$6 (8 (2 \ln (2))) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) + 6 \cdot - 3$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 3$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) - 18$

Schritt 7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$6 (16 \ln (2)) - 12 \ln (2) - 18$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $16$ mit $6$ .

$96 \ln (2) - 12 \ln (2) - 18$

Schritt 7.4

Subtrahiere $12 \ln (2)$ von $96 \ln (2)$ .

$84 \ln (2) - 18$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$84 \ln (2) - 18$

Dezimalform:

$40.22436316 \dots$