Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e} \ln^{2} (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln^{2} (x)$ und $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Dividiere $\ln (x^{2})$ durch $1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

Schritt 3

Schreibe $\ln (x^{2})$ als $2 \ln (x)$ um.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - (2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x)$

Schritt 5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Schritt 6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\ln^{2} (x) x$ bei $e$ und $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Schritt 9.2

Berechne $\ln (x) x$ bei $e$ und $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

Schritt 9.3

Berechne $x$ bei $e$ und $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$1^{2} e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Schritt 10.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Schritt 10.1.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e - 0^{2} - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Schritt 10.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e - 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Schritt 10.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e + 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Schritt 10.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.7.1

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$e + 0 - 2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

Schritt 10.1.7.2

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$e + 0 - 2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

Schritt 10.1.7.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e + 0 - 2 (e - 0 - (e - 1))$

Schritt 10.1.7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - (e - 1))$

Schritt 10.1.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$e + 0 - 2 (e + 0 - e - - 1)$

Schritt 10.1.7.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - e + 1)$

Schritt 10.1.8

Addiere $e$ und $0$ .

$e + 0 - 2 (e - e + 1)$

Schritt 10.1.9

Subtrahiere $e$ von $e$ .

$e + 0 - 2 (0 + 1)$

Schritt 10.1.10

Addiere $0$ und $1$ .

$e + 0 - 2 \cdot 1$

Schritt 10.1.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$e + 0 - 2$

Schritt 10.2

Addiere $e$ und $0$ .

$e - 2$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e - 2$

Dezimalform:

$0.71828182 \dots$