Analysis Beispiele

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = x^{- 2}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Schritt 3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Schritt 3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 5.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ und $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ bei $e$ und $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1})$

Schritt 7.2.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Dividiere $\ln (1)$ durch $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1})$

Schritt 7.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1)$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1)$

Schritt 7.2.2.4

Um $- (- \ln (1) - 1)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e}$

Schritt 7.2.2.5

Kombiniere $- (- \ln (1) - 1)$ und $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Schritt 7.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Schritt 7.2.2.7

Um $- e^{- 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Schritt 7.2.2.8

Kombiniere $- e^{- 1}$ und $\frac{e}{e}$ .

$\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Schritt 7.2.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Schritt 7.2.2.10

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Schritt 7.2.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Schritt 7.2.2.12

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Schritt 7.2.2.13

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Schritt 7.2.2.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (e)$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - (\ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (\ln (e))$ heraus.

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Schritt 7.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- \ln (1) - 1) e$ heraus.

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Schritt 7.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)$ heraus.

$\frac{- 1 (1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Schritt 7.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (- 0 - 1) e}{e}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (0 - 1) e}{e}$

Schritt 7.4.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) - 1 e}{e}$

Schritt 7.4.4

Schreibe $- 1 e$ als $- e$ um.

$- \frac{1 + \ln (e) - e}{e}$

Schritt 7.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.5.1

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- \frac{1 + 1 - e}{e}$

Schritt 7.4.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2 - e}{e}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2 - e}{e}$

Dezimalform:

$0.26424111 \dots$