Analysis Beispiele

$\int_{1}^{9} \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{1}{x} d x$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |)]_{1}^{9}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Berechne $\ln (| x |)$ bei $9$ und $1$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 9 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 9 |}{| 1 |})}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $9$ ist $9$ .

$\frac{\ln (\frac{9}{| 1 |})}{2}$

Schritt 3.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{\ln (\frac{9}{1})}{2}$

Schritt 3.3.3

Dividiere $9$ durch $1$ .

$\frac{\ln (9)}{2}$

Schritt 3.3.4

Schreibe $\ln (9)$ als $\ln (3^{2})$ um.

$\frac{\ln (3^{2})}{2}$

Schritt 3.3.5

Zerlege $\ln (3^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{2 \ln (3)}{2}$

Schritt 3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \ln (3)}{2}$

Schritt 3.3.6.2

Dividiere $\ln (3)$ durch $1$ .

$\ln (3)$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (3)$

Dezimalform:

$1.09861228 \dots$

Schritt 5