Analysis Beispiele

$\int x^{2} \sin (π x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \sin (π x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) (2 x) d x$

Schritt 2

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Schritt 2.1

Kombiniere $\cos (π x)$ und $\frac{1}{π}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (π x)}{π}) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{\cos (π x)}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) (2 x) d x$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{π} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{π} \cdot 2$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (- \frac{1}{π} \cdot 2 \int \cos (π x) (x) d x)$

Schritt 4

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (- 2 \frac{1}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

Schritt 4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (\frac{- 2}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (- \frac{2}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + 1 (\frac{2}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{2}{π}$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} \int \cos (π x) (x) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (π x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (x (\frac{1}{π} \sin (π x)) - \int \frac{1}{π} \sin (π x) d x)$

Schritt 6

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $\sin (π x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (x \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{1}{π} \sin (π x) d x)$

Schritt 6.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\sin (π x)}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \int \frac{1}{π} \sin (π x) d x)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{π}$ und $\sin (π x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \int \frac{\sin (π x)}{π} d x)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - (\frac{1}{π} \int \sin (π x) d x))$

Schritt 8

Sei $u = π x$ . Dann ist $d u = π d x$ , folglich $\frac{1}{π} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = π x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Schritt 8.1.2

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u)$

Schritt 9

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π} \int \frac{\sin (u)}{π} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{π}$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u))$

Schritt 11

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{π}$ mit $\frac{1}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π π} \int \sin (u) d u)$

Schritt 11.2

Potenziere $π$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{1} π} \int \sin (u) d u)$

Schritt 11.3

Potenziere $π$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \sin (u) d u)$

Schritt 11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \sin (u) d u)$

Schritt 11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{2}} \int \sin (u) d u)$

Schritt 12

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C))$

Schritt 13

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Schritt 13.1

Schreibe $- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C))$ als $- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) + C$ um.

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) + C$

Schritt 13.2

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Schritt 13.2.1

Um $\frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{π}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) \cdot \frac{π}{π} + C$

Schritt 13.2.2

Kombiniere $\frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})$ und $\frac{π}{π}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{\frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) π}{π} + C$

Schritt 13.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) π}{π} + C$

Schritt 13.2.4

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{π}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{π \cdot 2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

Schritt 13.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 \cdot π}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

Schritt 13.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 13.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 π}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

Schritt 13.2.6.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + 2 (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $π x$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + 2 (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π^{2}})}{π} + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + 2 \frac{x \sin (π x)}{π} + 2 \frac{\cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x \sin (π x)}{π}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 (x \sin (π x))}{π} + 2 \frac{\cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Schritt 15.1.3

Kombiniere $2$ und $\frac{\cos (π x)}{π^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 x \sin (π x)}{π} + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Schritt 15.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} \cos (π x)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} \cos (π x)) + \frac{2 x \sin (π x)}{π} + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Schritt 15.3

Faktorisiere $- 1$ aus $\frac{2 x \sin (π x)}{π}$ heraus.

$\frac{- (x^{2} \cos (π x)) - \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Schritt 15.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} \cos (π x)) - \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}$ heraus.

$\frac{- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}) + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Schritt 15.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}$ heraus.

$\frac{- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}) - \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Schritt 15.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}) - \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}$ heraus.

$\frac{- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})}{π} + C$

Schritt 15.7

Schreibe $- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})$ als $- 1 (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})}{π} + C$

Schritt 15.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Schritt 15.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} \cos (π x) - \frac{2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Schritt 15.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} \cos (π x) - \frac{2 x \sin (π x)}{π} - \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

Schritt 15.11

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{π} (x^{2} \cos (π x) - \frac{2}{π} x \sin (π x) - \frac{2}{π^{2}} \cos (π x)) + C$