Analysis Beispiele

$\int_{- 3}^{0} - 12 x - x^{2} + x^{3} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 3}^{0} - 12 x d x + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Schritt 2

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 12$ aus dem Integral.

$- 12 \int_{- 3}^{0} x d x + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - \int_{- 3}^{0} x^{2} d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{0}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $0$ und $- 3$ .

$- 12 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{0}) + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$

Schritt 9.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $0$ und $- 3$ .

$- 12 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$

Schritt 9.3

Berechne $\frac{1}{4} x^{4}$ bei $0$ und $- 3$ .

$- 12 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 12 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 9.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- 12 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- 12 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 12 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 12 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 12 (0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- 12 (0 - \frac{9}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.4

Subtrahiere $\frac{9}{2}$ von $0$ .

$- 12 (- \frac{9}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$12 (\frac{9}{2}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.6

Kombiniere $12$ und $\frac{9}{2}$ .

$\frac{12 \cdot 9}{2} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.7

Mutltipliziere $12$ mit $9$ .

$\frac{108}{2} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $108$ und $2$ .

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Schritt 9.4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $108$ heraus.

$\frac{2 \cdot 54}{2} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 54}{2 (1)} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 54}{2 \cdot 1} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{54}{1} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.8.2.4

Dividiere $54$ durch $1$ .

$54 - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$54 - (\frac{0}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.4.10.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$54 - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$54 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$54 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$54 - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$54 - (0 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.11

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$54 - (0 - \frac{- 27}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 27$ und $3$ .

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Schritt 9.4.12.1

Faktorisiere $3$ aus $- 27$ heraus.

$54 - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$54 - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$54 - (0 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$54 - (0 - \frac{- 9}{1}) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.12.2.4

Dividiere $- 9$ durch $1$ .

$54 - (0 - - 9) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$54 - (0 + 9) + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.14

Addiere $0$ und $9$ .

$54 - 1 \cdot 9 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$54 - 9 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.16

Subtrahiere $9$ von $54$ .

$45 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.17

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$45 + \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.18

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$45 + 0 - \frac{1}{4} {(- 3)}^{4}$

Schritt 9.4.19

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$45 + 0 - \frac{1}{4} \cdot 81$

Schritt 9.4.20

Mutltipliziere $81$ mit $- 1$ .

$45 + 0 - 81 (\frac{1}{4})$

Schritt 9.4.21

Kombiniere $- 81$ und $\frac{1}{4}$ .

$45 + 0 + \frac{- 81}{4}$

Schritt 9.4.22

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$45 + 0 - \frac{81}{4}$

Schritt 9.4.23

Subtrahiere $\frac{81}{4}$ von $0$ .

$45 - \frac{81}{4}$

Schritt 9.4.24

Um $45$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$45 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4}$

Schritt 9.4.25

Kombiniere $45$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{45 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4}$

Schritt 9.4.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{45 \cdot 4 - 81}{4}$

Schritt 9.4.27

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.27.1

Mutltipliziere $45$ mit $4$ .

$\frac{180 - 81}{4}$

Schritt 9.4.27.2

Subtrahiere $81$ von $180$ .

$\frac{99}{4}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{99}{4}$

Dezimalform:

$24.75$

Darstellung als gemischte Zahl:

$24 \frac{3}{4}$

Schritt 11