Analysis Beispiele

$y = {(4 x - 7)}^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(4 x - 7)}^{2})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(4 x - 7)}^{2}$ als $(4 x - 7) (4 x - 7)$ um.

$\frac{d}{d x} [(4 x - 7) (4 x - 7)]$

Schritt 3.2

Multipliziere $(4 x - 7) (4 x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x - 7) - 7 (4 x - 7)]$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 7 - 7 (4 x - 7)]$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot - 7 - 7 (4 x) - 7 \cdot - 7]$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 7 - 7 (4 x) - 7 \cdot - 7]$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 7 - 7 (4 x) - 7 \cdot - 7]$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 7 - 7 (4 x) - 7 \cdot - 7]$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x \cdot - 7 - 7 (4 x) - 7 \cdot - 7]$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 28 x - 7 (4 x) - 7 \cdot - 7]$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 28 x - 28 x - 7 \cdot - 7]$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 28 x - 28 x + 49]$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $28 x$ von $- 28 x$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} - 56 x + 49]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{2} - 56 x + 49$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 3.5

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{2}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$32 x + \frac{d}{d x} [- 56 x] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 3.8

Da $- 56$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 56 x$ nach $x$ gleich $- 56 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 x - 56 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$32 x - 56 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 56$ mit $1$ .

$32 x - 56 + \frac{d}{d x} [49]$

Schritt 3.11

Da $49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $49$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$32 x - 56 + 0$

Schritt 3.12

Addiere $32 x - 56$ und $0$ .

$32 x - 56$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 32 x - 56$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 32 x - 56$