Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $[0, 7]$

Schritt 1

Überprüfe, ob $f (x) = x^{2} + 2 x$ stetig ist.

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Schritt 1.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 1.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 7]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = x^{2} + 2 x$ differenzierbar ist.

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Schritt 2.1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Schritt 2.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Schritt 2.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Schritt 2.2

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $[0, 7]$ stetig ist.

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Schritt 2.2.1

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2.2.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 7]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 2.3

Die Funktion ist im Intervall $[0, 7]$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $[0, 7]$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 3

Damit die Bogenlänge definiert ist, müssen sowohl die Funktion als auch ihre Ableitung in dem geschlossenen Intervall $[0, 7]$ stetig sein.

Die Funktion und ihre Ableitung sind in dem abgeschlossenen Intervall $[0, 7]$ stetig.

Schritt 4

Ermittele die Ableitung von $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Schritt 4.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 4.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x + 2$

Schritt 5

Um die Bogenlänge einer Funktion zu bestimmen, benutze die Formel $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{7} \sqrt{1 + {(2 x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 6

Berechne das Integral.

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Schritt 6.1

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 6.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = 8$

$c = 5$

Schritt 6.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 6.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 6.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 6.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Schritt 6.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{4}$

Schritt 6.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4}{4}$

Schritt 6.1.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 6.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 6.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 5 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.4.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = 5 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 5 - \frac{64}{16}$

Schritt 6.1.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $16$ .

$e = 5 - 1 \cdot 4$

Schritt 6.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 5 - 4$

Schritt 6.1.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$e = 1$

Schritt 6.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x + 1)}^{2} + 1$ ein.

$\int_{0}^{7} \sqrt{4 {(x + 1)}^{2} + 1} d x$

Schritt 6.2

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 6.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 6.2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x + 1$ ein.

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 6.2.3

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 6.2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x + 1$ ein.

$u_{upper} = 7 + 1$

Schritt 6.2.5

Addiere $7$ und $1$ .

$u_{upper} = 8$

Schritt 6.2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Schritt 6.2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{8} \sqrt{4 u^{2} + 1} d u$

Schritt 6.3

Sei $u = \frac{1}{2} \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ positiv ist.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 6.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

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Schritt 6.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\tan (t)$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 6.4.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\tan (t)}{2}$ an.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 6.4.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 6.4.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.4.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 6.4.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 6.4.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 6.4.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 6.4.2

Vereinfache.

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Schritt 6.4.2.1

Kombiniere $\sec (t)$ und $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 6.4.2.2

Multipliziere $\sec (t)$ mit $\sec^{2} (t)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.2.2.1

Mutltipliziere $\sec (t)$ mit $\sec^{2} (t)$ .

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Schritt 6.4.2.2.1.1

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 6.4.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

Schritt 6.4.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\int_{1.10714871}^{1.50837751} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

Schritt 6.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{1.10714871}^{1.50837751} \sec^{3} (t) d t$

Schritt 6.6

Wende die Reduktionsformel an.

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} + \frac{1}{2} \int_{1.10714871}^{1.50837751} \sec (t) d t)$

Schritt 6.7

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751})$

Schritt 6.8

Vereinfache.

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Schritt 6.8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2})$

Schritt 6.8.2

Um $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2})$

Schritt 6.8.3

Kombiniere $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2})$

Schritt 6.8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2}$

Schritt 6.8.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2}$

Schritt 6.8.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.8.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.50837751}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{4}$

Schritt 6.9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.9.1

Berechne $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ bei $1.50837751$ und $1.10714871$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2}) - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.50837751}}{4}$

Schritt 6.9.2

Berechne $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ bei $1.50837751$ und $1.10714871$ .

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2}) - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + (\ln (| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |)) - \ln (| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |)}{4}$

Schritt 6.9.3

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |) - \ln (| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |)}{4}$

Schritt 6.10

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Schritt 6.11

Vereinfache.

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Schritt 6.11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.11.1.1

Berechne $\tan (1.10714871)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{2 \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Schritt 6.11.1.2

Berechne $\sec (1.10714871)$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{2 \cdot 2.23606797}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Schritt 6.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2.23606797$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - \frac{4.47213595}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Schritt 6.11.3

Dividiere $4.47213595$ durch $2$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - 1 \cdot 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Schritt 6.11.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2.23606797$ .

$\frac{2 (\frac{\tan (1.50837751) \sec (1.50837751)}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Schritt 6.11.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.11.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.11.5.1.1

Berechne $\tan (1.50837751)$ .

$\frac{2 (\frac{16 \sec (1.50837751)}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Schritt 6.11.5.1.2

Berechne $\sec (1.50837751)$ .

$\frac{2 (\frac{16 \cdot 16.03121954}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Schritt 6.11.5.2

Mutltipliziere $16$ mit $16.03121954$ .

$\frac{2 (\frac{256.49951267}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Schritt 6.11.5.3

Dividiere $256.49951267$ durch $2$ .

$\frac{2 (128.24975633 - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Schritt 6.11.6

Subtrahiere $2.23606797$ von $128.24975633$ .

$\frac{2 \cdot 126.01368835 + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Schritt 6.11.7

Mutltipliziere $2$ mit $126.01368835$ .

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{| \sec (1.50837751) + \tan (1.50837751) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Schritt 6.11.8

$\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)$ ist ungefähr $32.03121954$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

Schritt 6.11.9

$\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)$ ist ungefähr $4.23606797$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)}{\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)})}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{252.02737671 + \ln (\frac{\sec (1.50837751) + \tan (1.50837751)}{\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)})}{4}$

Dezimalform:

$63.51261306 \dots$

Schritt 8