Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x + 2$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = 3 (x + h) + 2$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = 3 x + 3 h + 2$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $3 x + 3 h + 2$ .

$3 x + 3 h + 2$

Schritt 2.2

Stelle $3 x$ und $3 h$ um.

$3 h + 3 x + 2$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = 3 h + 3 x + 2$

$f (x) = 3 x + 2$

$f (x + h) = 3 h + 3 x + 2$

$f (x) = 3 x + 2$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h + 3 x + 2 - (3 x + 2)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h + 3 x + 2 - (3 x) - 1 \cdot 2}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h + 3 x + 2 - 3 x - 1 \cdot 2}{h}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h + 3 x + 2 - 3 x - 2}{h}$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h + 0 + 2 - 2}{h}$

Schritt 4.1.5

Addiere $3 h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h + 2 - 2}{h}$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.7

Addiere $3 h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h}{h}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h}{h}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$3$

Schritt 6