Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) + 1}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{x + h}{x + h + 1}$ .

$\frac{x + h}{x + h + 1}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} - (\frac{x}{x + 1})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{x + h}{x + h + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{x}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h + 1) (x + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x + h}{x + h + 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{x}{x + 1}$ mit $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + h + 1) (x + 1)$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Multipliziere $(x + h) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x + 1) + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.3

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x \cdot x - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.4.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.4.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h + 0 - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Addiere $x$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Addiere $h x + h - x h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.9

Subtrahiere $x h$ von $h x$ .

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Schritt 4.1.5.9.1

Stelle $h$ und $x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + x h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.9.2

Subtrahiere $x h$ von $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10

Addiere $h$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $\frac{1}{x + 1}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Schritt 5.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Schritt 5.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Schritt 7.2

Multipliziere $\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 1}$ mit $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

Schritt 7.2.2

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Schritt 7.2.3

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Schritt 7.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Schritt 7.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 8