Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

Schritt 1

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \sqrt{(x + h) + 1}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{x + h + 1}$ .

$\sqrt{x + h + 1}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h + 1}$

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - (\sqrt{x + 1})}{h}$

Schritt 4

Multipliziere $- 1$ mit $\sqrt{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{h}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} x + h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $\sqrt{x + 1}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\sqrt{x + 0 + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt{x + 0 + 1} - \sqrt{x + 1}$ .

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Schritt 5.1.2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.2.3.2

Subtrahiere $\sqrt{x + 1}$ von $\sqrt{x + 1}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3

Berechne $\frac{d}{d h} [\sqrt{x + h + 1}]$ .

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Schritt 5.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + h + 1}$ als ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ und $g (h) = x + h + 1$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + h + 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + h + 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [x + h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + h + 1$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.4

Da $x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1 + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.6

Da $1$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.12

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.13

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.15

Mutltipliziere $\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.3.16

Bringe ${(x + h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.4

Da $- \sqrt{x + 1}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- \sqrt{x + 1}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.5

Addiere $\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 5.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 5.5

Schreibe ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x + h + 1}$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}} \cdot 1$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x + h + 1}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$

Schritt 6.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1}}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{x + h + 1}}$

Schritt 6.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} x + h + 1}}$

Schritt 6.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}}$

Schritt 6.6

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}}$

Schritt 6.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + lim_{h \to 0} h + 1}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + 0 + 1}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}})$

Schritt 8.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

Schritt 8.3.2

Potenziere $\sqrt{x + 1}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

Schritt 8.3.3

Potenziere $\sqrt{x + 1}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

Schritt 8.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

Schritt 8.3.6

Schreibe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ als $x + 1$ um.

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Schritt 8.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

Schritt 8.3.6.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ .

$\frac{\sqrt{x + 1}}{2 (x + 1)}$

Schritt 9