Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 1.1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 1.1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 1.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 1.1.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 1.1.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.1.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 1.1.2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.1.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.1.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 1.1.2.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 1.1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 1.1.2.9

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 1.1.2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.11.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

Schritt 1.1.2.11.2

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \sqrt{x}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $[0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{4 {(2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 + \frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.1.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.1.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Schritt 4.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{4 + 3}{2}}}$

Schritt 4.2.1.6.2

Addiere $4$ und $3$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $[0, \infty)$ konkav, weil $f'' (2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $[0, \infty)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5