Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{4 - x}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x}$ als ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Schritt 1.1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Schritt 1.1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Schritt 1.1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Schritt 1.1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Schritt 1.1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Schritt 1.1.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Schritt 1.1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

Schritt 1.1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Schritt 1.1.1.7.3

Bringe ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Schritt 1.1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Schritt 1.1.1.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Schritt 1.1.1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 1.1.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

Schritt 1.1.1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.1.1.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Schritt 1.1.1.13.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.1.13.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.2.1.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 1.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 1.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 1.1.2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 1.1.2.7.2

Kombiniere ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 1.1.2.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.7.3.1

Bringe ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 1.1.2.7.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 1.1.2.7.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))$

Schritt 1.1.2.7.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Schritt 1.1.2.7.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

Schritt 1.1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Schritt 1.1.2.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Schritt 1.1.2.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 1.1.2.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

Schritt 1.1.2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.1.2.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot - 1$

Schritt 1.1.2.13.2

Kombiniere $\frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.1.2.13.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \sqrt{4 - x}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{4 - x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 - x \geq 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 4$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 4$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x \leq 4$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 4]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 4}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 4]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq 4}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 4]$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 4]$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $0$ von $4$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 4.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 2^{3}}$

Schritt 4.2.1.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{4 \cdot 8}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f'' (0) = - \frac{1}{32}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{32}$ .

$- \frac{1}{32}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 4]$ konkav, weil $f'' (0)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, 4]$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5