Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2} - 9$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.5

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.1.7

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 9) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (- 9)) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.6

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.7

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 9) (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) (2 x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 9) (2 \cdot ((x^{2} - 9) x))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} - 9) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) ((x^{2} - 9) x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} - 9)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.2

Schreibe ${(x^{2} - 9)}^{2}$ als $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ um.

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} - 9) (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3

Multipliziere $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} - 9) - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 (x^{2} - 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot - 9 - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 9 \cdot x^{2} - 9 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 9 x^{2} - 9 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.4.2

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $- 9 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 18 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (- 18 x^{2}) - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 18$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 36 x^{2} - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $81$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 36 x^{2} - 162) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{1 + 2} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 4 \cdot - 9) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2} x - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{2 + 1} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.10.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} + 36) (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11

Multipliziere $(4 x^{2} + 36) (x^{3} - 9 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} (x^{3} - 9 x) + 36 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 (x^{3} - 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (- 9 x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{2} x) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 (x \cdot x^{2})) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{1 + 2}) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 9 x^{3}) + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 36 x^{3} + 36 x^{3} + 36 (- 9 x)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 36 x^{3} + 36 x^{3} - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.2

Addiere $- 36 x^{3}$ und $36 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 0 - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.1.12.3

Addiere $4 x^{5}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.2

Addiere $- 2 x^{5}$ und $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 36 x^{3} - 162 x - 324 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.3.3

Subtrahiere $324 x$ von $- 162 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{5} + 36 x^{3} - 486 x$ heraus.

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Schritt 1.1.2.5.4.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $36 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2}) - 486 x}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $- 486 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{4}) + 2 x (18 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.1.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{4} + 18 x^{2}) + 2 x (- 243)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} + 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} + 18 u - 243)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.4

Faktorisiere $u^{2} + 18 u - 243$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.2.5.4.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 243$ und deren Summe $18$ ist.

$- 9, 27$

Schritt 1.1.2.5.4.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 9) (u + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 9) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.6

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 27))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.4.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.5.5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.5.3

Wende die Produktregel auf $(x + 3) (x - 3)$ an.

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 3$ und ${(x + 3)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.6.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $2 x (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 27)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.5.6.2.1

Faktorisiere $x + 3$ aus ${(x + 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x + 3) ((2 x (x - 3)) (x^{2} + 27))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Schritt 1.1.2.5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(2 x (x - 3)) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 3$ und ${(x - 3)}^{4}$ .

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Schritt 1.1.2.5.7.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $(2 x (x - 3)) (x^{2} + 27)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.5.7.2.1

Faktorisiere $x - 3$ aus ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((2 x) (x^{2} + 27))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Schritt 1.1.2.5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 27)}{{(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x (x^{2} + 27) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 27 = 0$

Schritt 1.2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.3.3

Setze $x^{2} + 27$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.1

Setze $x^{2} + 27$ gleich $0$ .

$x^{2} + 27 = 0$

Schritt 1.2.3.3.2

Löse $x^{2} + 27 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 27$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 27}$

Schritt 1.2.3.3.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 27}$ .

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Schritt 1.2.3.3.2.3.1

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (27)}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{27}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.4

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.2.3.3.2.3.4.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.3.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{3})$

Schritt 1.2.3.3.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Schritt 1.2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x^{2} + 27) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 9}$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{x^{2} - 9}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 9 = 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 9$

Schritt 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 3, - 3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 3, - 3}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - 3)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{2 (- 6) ({(- 6)}^{2} + 27)}{{((- 6) + 3)}^{3} {((- 6) - 3)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 6 + 3)}^{3} {(- 6 - 3)}^{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $- 6$ und $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 3)}^{3} {(- 6 - 3)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{{(- 3)}^{3} {(- 9)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.3

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{- 27 {(- 9)}^{3}}$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $- 9$ mit $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 ({(- 6)}^{2} + 27)}{- 27 \cdot - 729}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 (36 + 27)}{- 27 \cdot - 729}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $36$ und $27$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 \cdot 63}{- 27 \cdot - 729}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 729$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 12 \cdot 63}{19683}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $63$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 756}{19683}$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 756$ und $19683$ .

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Schritt 4.2.4.3.1

Faktorisiere $27$ aus $- 756$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{27 (- 28)}{19683}$

Schritt 4.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.3.2.1

Faktorisiere $27$ aus $19683$ heraus.

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 28}{27 \cdot 729}$

Schritt 4.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (- 6) = \frac{27 \cdot - 28}{27 \cdot 729}$

Schritt 4.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (- 6) = \frac{- 28}{729}$

Schritt 4.2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 6) = - \frac{28}{729}$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{28}{729}$ .

$- \frac{28}{729}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - 3)$ konkav, weil $f'' (- 6)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 3, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 2) ({(- 2)}^{2} + 27)}{{((- 2) + 3)}^{3} {((- 2) - 3)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{{(- 2 + 3)}^{3} {(- 2 - 3)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 2$ und $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1^{3} {(- 2 - 3)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1^{3} {(- 5)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1 {(- 5)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.4

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{1 \cdot - 125}$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $- 125$ mit $1$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 ({(- 2)}^{2} + 27)}{- 125}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 (4 + 27)}{- 125}$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $4$ und $27$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 4 \cdot 31}{- 125}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $31$ .

$f'' (- 2) = \frac{- 124}{- 125}$

Schritt 5.2.4.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f'' (- 2) = \frac{124}{125}$

Schritt 5.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{124}{125}$ .

$\frac{124}{125}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- 3, 0)$ konvex, weil $f'' (- 2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 3, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, 3)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{2 (2) ({(2)}^{2} + 27)}{{((2) + 3)}^{3} {((2) - 3)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{{(2 + 3)}^{3} {(2 - 3)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Addiere $2$ und $3$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{5^{3} {(2 - 3)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{5^{3} {(- 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{125 {(- 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{4 (2^{2} + 27)}{125 \cdot - 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = \frac{4 (4 + 27)}{125 \cdot - 1}$

Schritt 6.2.3.2

Addiere $4$ und $27$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 31}{125 \cdot - 1}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $125$ mit $- 1$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 31}{- 125}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $31$ .

$f'' (2) = \frac{124}{- 125}$

Schritt 6.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (2) = - \frac{124}{125}$

Schritt 6.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{124}{125}$ .

$- \frac{124}{125}$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(0, 3)$ konkav, weil $f'' (2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, 3)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f'' (6) = \frac{2 (6) ({(6)}^{2} + 27)}{{((6) + 3)}^{3} {((6) - 3)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{{(6 + 3)}^{3} {(6 - 3)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Addiere $6$ und $3$ .

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{9^{3} {(6 - 3)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{9^{3} \cdot 3^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $9$ mit $3$ .

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{729 \cdot 3^{3}}$

Schritt 7.2.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f'' (6) = \frac{12 (6^{2} + 27)}{729 \cdot 27}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f'' (6) = \frac{12 (36 + 27)}{729 \cdot 27}$

Schritt 7.2.3.2

Addiere $36$ und $27$ .

$f'' (6) = \frac{12 \cdot 63}{729 \cdot 27}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $729$ mit $27$ .

$f'' (6) = \frac{12 \cdot 63}{19683}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $12$ mit $63$ .

$f'' (6) = \frac{756}{19683}$

Schritt 7.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $756$ und $19683$ .

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Schritt 7.2.4.3.1

Faktorisiere $27$ aus $756$ heraus.

$f'' (6) = \frac{27 (28)}{19683}$

Schritt 7.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.3.2.1

Faktorisiere $27$ aus $19683$ heraus.

$f'' (6) = \frac{27 \cdot 28}{27 \cdot 729}$

Schritt 7.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (6) = \frac{27 \cdot 28}{27 \cdot 729}$

Schritt 7.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (6) = \frac{28}{729}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{28}{729}$ .

$\frac{28}{729}$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(3, \infty)$ konvex, weil $f'' (6)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(3, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - 3)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 3, 0)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(0, 3)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(3, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9