Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x {(x - 2)}^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 2)}^{3})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 2$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.1.4.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.1.4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.1.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

Schritt 1.1.1.4.6

Mutltipliziere ${(x - 2)}^{3}$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

Schritt 1.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Schritt 1.1.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Schritt 1.1.1.5.3

Faktorisiere $3 {(x - 2)}^{2}$ aus $9 x {(x - 2)}^{2} + 3 {(x - 2)}^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1.5.3.1

Faktorisiere $3 {(x - 2)}^{2}$ aus $9 x {(x - 2)}^{2}$ heraus.

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{3}$

Schritt 1.1.1.5.3.2

Faktorisiere $3 {(x - 2)}^{2}$ aus $3 {(x - 2)}^{3}$ heraus.

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Schritt 1.1.1.5.3.3

Faktorisiere $3 {(x - 2)}^{2}$ aus $3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ heraus.

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

Schritt 1.1.1.5.4

Addiere $3 x$ und $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

Schritt 1.1.1.5.5

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$f' (x) = 3 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

Schritt 1.1.1.5.6

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Schritt 1.1.1.5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

Schritt 1.1.1.5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Schritt 1.1.1.5.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.5.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.5.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Schritt 1.1.1.5.7.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

Schritt 1.1.1.5.7.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

Schritt 1.1.1.5.7.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

Schritt 1.1.1.5.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Schritt 1.1.1.5.9

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.5.9.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

Schritt 1.1.1.5.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$

Schritt 1.1.1.5.10

Multipliziere $(3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Schritt 1.1.1.5.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.5.11.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Schritt 1.1.1.5.11.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.5.11.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Schritt 1.1.1.5.11.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.5.11.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Schritt 1.1.1.5.11.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Schritt 1.1.1.5.11.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Schritt 1.1.1.5.11.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Schritt 1.1.1.5.11.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Schritt 1.1.1.5.11.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x \cdot x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Schritt 1.1.1.5.11.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.5.11.6.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Schritt 1.1.1.5.11.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x^{2}) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Schritt 1.1.1.5.11.7

Mutltipliziere $- 12$ mit $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Schritt 1.1.1.5.11.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

Schritt 1.1.1.5.11.9

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x + 12 \cdot - 2$

Schritt 1.1.1.5.11.10

Mutltipliziere $12$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Schritt 1.1.1.5.12

Subtrahiere $48 x^{2}$ von $- 6 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

Schritt 1.1.1.5.13

Addiere $24 x$ und $48 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{3}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Schritt 1.1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Schritt 1.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 54 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Da $- 54$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 54 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 54 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 (2 x) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Schritt 1.1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 54$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Schritt 1.1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [72 x]$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Da $72$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $72 x$ nach $x$ gleich $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Schritt 1.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Schritt 1.1.2.4.3

Mutltipliziere $72$ mit $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.2.5.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + 0$

Schritt 1.1.2.5.2

Addiere $36 x^{2} - 108 x + 72$ und $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $36$ aus $36 x^{2} - 108 x + 72$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $36$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$36 (x^{2}) - 108 x + 72 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $36$ aus $- 108 x$ heraus.

$36 (x^{2}) + 36 (- 3 x) + 72 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $36$ aus $72$ heraus.

$36 x^{2} + 36 (- 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $36$ aus $36 x^{2} + 36 (- 3 x)$ heraus.

$36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $36$ aus $36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2$ heraus.

$36 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 2, - 1$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$36 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$36 (x - 2) (x - 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $36 (x - 2) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, 1$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 108 \cdot 0 + 72$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 108 \cdot 0 + 72$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 108$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 72$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = 0 + 72$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $72$ .

$f'' (0) = 72$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $72$ .

$72$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, 1)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(1, 2)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.5$ .

$f'' (1.5) = 36 {(1.5)}^{2} - 108 \cdot 1.5 + 72$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $1.5$ mit $2$ .

$f'' (1.5) = 36 \cdot 2.25 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $2.25$ .

$f'' (1.5) = 81 - 108 \cdot 1.5 + 72$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 108$ mit $1.5$ .

$f'' (1.5) = 81 - 162 + 72$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $162$ von $81$ .

$f'' (1.5) = - 81 + 72$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 81$ und $72$ .

$f'' (1.5) = - 9$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 9$ .

$- 9$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(1, 2)$ konkav, weil $f'' (1.5)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(1, 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 108 \cdot 4 + 72$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 108 \cdot 4 + 72$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $16$ .

$f'' (4) = 576 - 108 \cdot 4 + 72$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 108$ mit $4$ .

$f'' (4) = 576 - 432 + 72$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $432$ von $576$ .

$f'' (4) = 144 + 72$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $144$ und $72$ .

$f'' (4) = 216$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $216$ .

$216$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(2, \infty)$ konvex, weil $f'' (4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, 1)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(1, 2)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(2, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8