Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 0}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.6.3.2.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{8 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Schritt 1.2.2

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}})$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}})$

Schritt 1.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 4)}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 1.2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 1.2.5.2

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus ${(x^{2} + 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus ${(x^{2} + 4)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 1.2.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $- 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ heraus.

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 1.2.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus $(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ heraus.

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

Schritt 1.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 4$ aus ${(x^{2} + 4)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 1.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 1.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 1.2.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 1.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 1.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 1.2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 1.2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 1.2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 1.2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 1.2.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Schritt 1.2.16

Kombiniere $8$ und $\frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.17

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.17.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 24 x^{2} + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 24 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.3

Faktorisiere $8$ aus $- 24 x^{2} + 32$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.17.3.1

Faktorisiere $8$ aus $- 24 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 32}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.3.2

Faktorisiere $8$ aus $32$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 (4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.3.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- 3 x^{2}) + 8 (4)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2}) + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.5

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (- 4)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.7

Schreibe $- (3 x^{2} - 4)$ als $- 1 (3 x^{2} - 4)$ um.

$f'' (x) = \frac{8 (- 1 (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.2.17.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 (3 x^{2} - 4) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 (3 x^{2} - 4) = 0$ durch $8$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $8 (3 x^{2} - 4) = 0$ durch $8$ .

$\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} - 4$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 4 = \frac{0}{8}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $8$ .

$3 x^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 4$

Schritt 2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 4$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Schritt 2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{3}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.5.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.5.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.3.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.5.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.3.5.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.3.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.3.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.3.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.3.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.3.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.1.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.1.2.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.1.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.1.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.1.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.1.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.1.2.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{12}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 (4)}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.1.2.2.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.1.2.2.2.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.1.2.2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.1.2.2.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.1.2.2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.1.2.2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.1.2.2.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.1.2.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{9} + 4}$

Schritt 3.1.2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{12}{9} + 4}$

Schritt 3.1.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 (4)}{9} + 4}$

Schritt 3.1.2.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Schritt 3.1.2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Schritt 3.1.2.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4}$

Schritt 3.1.2.2.6

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.1.2.2.7

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.1.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 4 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.1.2.2.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.2.9.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 12}{3}}$

Schritt 3.1.2.2.9.2

Addiere $4$ und $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{16}{3}}$

Schritt 3.1.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{16}$

Schritt 3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 (4)}$

Schritt 3.1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.1.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 3.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 3.1.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4}$

Schritt 3.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Schritt 3.3

Ersetze $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.4.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{12}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.7.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 (4)}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4}{3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.1.8

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{3}$ an.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{1 (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

Schritt 3.3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.4.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.4.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{9} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{12}{9} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 (4)}{9} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4}$

Schritt 3.3.2.2.8

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.3.2.2.9

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.3.2.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 4 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.3.2.2.11

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.11.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 12}{3}}$

Schritt 3.3.2.2.11.2

Addiere $4$ und $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{16}{3}}$

Schritt 3.3.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{16}$

Schritt 3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 (4)}$

Schritt 3.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.3.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 3.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Schritt 3.3.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4}$

Schritt 3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.25470053$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (3 {(- 1.25470053)}^{2} - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1.25470053$ mit $2$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (3 \cdot 1.57427344 - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1.57427344$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (4.72282032 - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.1.3

Subtrahiere $4$ von $4.72282032$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Potenziere $- 1.25470053$ mit $2$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{(1.57427344 + 4)}^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $1.57427344$ und $4$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{5.57427344}^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $5.57427344$ mit $3$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{173.20674748}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $0.72282032$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{5.78256258}{173.20674748}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $5.78256258$ durch $173.20674748$ .

$f'' (- 1.25470053) = - 1 \cdot 0.03338531$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.03338531$ .

$f'' (- 1.25470053) = - 0.03338531$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.03338531$ .

$- 0.03338531$

Schritt 5.3

Bei $- 1.25470053$ , die zweite Ableitung ist $- 0.03338531$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (3 {(0)}^{2} - 4)}{{({(0)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (3 \cdot 0 - 4)}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (0 - 4)}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.3

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{{(0 + 4)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{4^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{64}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$f'' (0) = - \frac{- 32}{64}$

Schritt 6.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 32$ und $64$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $32$ aus $- 32$ heraus.

$f'' (0) = - \frac{32 (- 1)}{64}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.2.1

Faktorisiere $32$ aus $64$ heraus.

$f'' (0) = - \frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (0) = - \frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (0) = - \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0) = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6.3

Bei $0$ ist die zweite Ableitung $0.5$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.25470053$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (3 {(1.25470053)}^{2} - 4)}{{({(1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $1.25470053$ mit $2$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (3 \cdot 1.57427344 - 4)}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1.57427344$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (4.72282032 - 4)}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.3

Subtrahiere $4$ von $4.72282032$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Potenziere $1.25470053$ mit $2$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{(1.57427344 + 4)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $1.57427344$ und $4$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{5.57427344}^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $5.57427344$ mit $3$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{173.20674748}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $0.72282032$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{5.78256258}{173.20674748}$

Schritt 7.2.3.2

Dividiere $5.78256258$ durch $173.20674748$ .

$f'' (1.25470053) = - 1 \cdot 0.03338531$

Schritt 7.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.03338531$ .

$f'' (1.25470053) = - 0.03338531$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.03338531$ .

$- 0.03338531$

Schritt 7.3

Bei $1.25470053$ , die zweite Ableitung ist $- 0.03338531$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

Schritt 9