Analysis Beispiele

$\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 8 + e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.5

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.5.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.5.3

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.6.2.1

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.6.2.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.6.2.1.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.6.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

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Schritt 2.1.6.2.2.1

Subtrahiere $e^{2 x}$ von $e^{2 x}$ .

$\frac{8 e^{x} + 0}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.1.6.2.2.2

Addiere $8 e^{x}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$

Schritt 2.2.2

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 8 + e^{x}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 + e^{x}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $8 + e^{x}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.2.6

Differenziere.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.2.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.2.6.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.2.6.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.2.7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.2.9

Addiere $x$ und $x$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.2.10

Faktorisiere $8 + e^{x}$ aus ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ heraus.

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Schritt 2.2.10.1

Faktorisiere $8 + e^{x}$ aus ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x}$ heraus.

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.2.10.2

Faktorisiere $8 + e^{x}$ aus $- 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ heraus.

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.2.10.3

Faktorisiere $8 + e^{x}$ aus $(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ heraus.

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

Schritt 2.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.11.1

Faktorisiere $8 + e^{x}$ aus ${(8 + e^{x})}^{4}$ heraus.

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$8 \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $8$ und $\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{8 ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (8 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.13.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.13.3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.2

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.13.3.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{x + x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.2.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} - 16 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13.3.2

Subtrahiere $16 e^{2 x}$ von $8 e^{2 x}$ .

$\frac{64 e^{x} - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.13.4.1

Faktorisiere $8$ aus $64 e^{x} - 8 e^{2 x}$ heraus.

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Schritt 2.2.13.4.1.1

Faktorisiere $8$ aus $64 e^{x}$ heraus.

$\frac{8 (8 e^{x}) - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4.1.2

Faktorisiere $8$ aus $- 8 e^{2 x}$ heraus.

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4.1.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})$ heraus.

$\frac{8 (8 e^{x} - e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4.2

Schreibe $e^{2 x}$ als ${(e^{x})}^{2}$ um.

$\frac{8 (8 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4.3

Es sei $u = e^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $e^{x}$ .

$\frac{8 (8 u - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4.4

Faktorisiere $u$ aus $8 u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.13.4.4.1

Faktorisiere $u$ aus $8 u$ heraus.

$\frac{8 (u \cdot 8 - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4.4.2

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$\frac{8 (u \cdot 8 + u (- u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4.4.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 8 + u (- u)$ heraus.

$\frac{8 (u (8 - u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.2.13.4.5

Ersetze alle $u$ durch $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 3.3.2.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 3.3.2.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.3.2.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3.3.3

Setze $8 - e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $8 - e^{x}$ gleich $0$ .

$8 - e^{x} = 0$

Schritt 3.3.3.2

Löse $8 - e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.2.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- e^{x} = - 8$

Schritt 3.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- e^{x} = - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{x} = - 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2.2.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$e^{x} = 8$

Schritt 3.3.3.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Schritt 3.3.3.2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.3.3.2.4.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Schritt 3.3.3.2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Schritt 3.3.3.2.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (8)$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ wahr machen.

$x = \ln (8)$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $\ln (8)$ in $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\ln (8)$ .

$f (\ln (8)) = \frac{e^{\ln (8)}}{8 + e^{\ln (8)}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + e^{\ln (8)}}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + 8}$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $8$ und $8$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8}{16}$

Schritt 4.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $16$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$f (\ln (8)) = \frac{8 (1)}{16}$

Schritt 4.1.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\ln (8)) = \frac{1}{2}$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\ln (8)$ in $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ ermittelt werden kann, ist $(\ln (8), \frac{1}{2})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \ln (8))$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.97944154$ .

$f'' (1.97944154) = \frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

Schritt 6.3

Bei $1.97944154$ ist die zweite Ableitung $0.01245842$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, \ln (8))$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \ln (8))$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\ln (8), \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.17944154$ .

$f'' (2.17944154) = \frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

Schritt 7.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

Schritt 7.3

Bei $2.17944154$ , die zweite Ableitung ist $- 0.01245842$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\ln (8), \infty)$

Abfallend im Intervall $(\ln (8), \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\ln (8), \frac{1}{2})$ .

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

Schritt 9