Gib eine Aufgabe ein ...
Analysis Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Schritt 1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.2
Berechne .
Schritt 1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.3
Berechne .
Schritt 1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.4
Berechne .
Schritt 1.1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.4.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2
Bestimme die zweite Ableitung.
Schritt 1.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.2.2
Berechne .
Schritt 1.2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.3
Berechne .
Schritt 1.2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2.4
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Schritt 1.2.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 1.2.4.2
Addiere und .
Schritt 1.3
Die zweite Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Schritt 2.1
Setze die zweite Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 2.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 2.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 2.3.3.1
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 2.3.3.1.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.3.3.1.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 2.3.3.1.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.3.3.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.3.1.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.3.3.2
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 3
Schritt 3.1
Ersetze in , um den Wert von zu ermitteln.
Schritt 3.1.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 3.1.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 3.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Schritt 3.1.2.1.1
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Schritt 3.1.2.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.1.2.1.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.1.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 3.1.2.1.3
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 3.1.2.1.4
Potenziere mit .
Schritt 3.1.2.1.5
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 3.1.2.1.5.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 3.1.2.1.5.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.1.5.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.1.2.1.5.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.1.2.1.6
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 3.1.2.1.7
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Schritt 3.1.2.1.7.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.1.2.1.7.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 3.1.2.1.8
Potenziere mit .
Schritt 3.1.2.1.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.1.10
Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.
Schritt 3.1.2.1.11
Potenziere mit .
Schritt 3.1.2.1.12
Kombiniere und .
Schritt 3.1.2.1.13
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 3.1.2.1.13.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 3.1.2.1.13.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.1.13.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.1.2.1.13.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.1.2.1.14
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2
Vereinfache Terme.
Schritt 3.1.2.2.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.1.2.2.2
Addiere und .
Schritt 3.1.2.2.3
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Schritt 3.1.2.2.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.2.3.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Schritt 3.1.2.2.3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.2.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.1.2.2.3.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.1.2.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 3.1.2.4
Kombiniere und .
Schritt 3.1.2.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.1.2.6
Vereinfache den Zähler.
Schritt 3.1.2.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.6.2
Addiere und .
Schritt 3.1.2.7
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 3.2
Der Punkt, der durch Einsetzen von in ermittelt werden kann, ist . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.
Schritt 4
Teile in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.
Schritt 5
Schritt 5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 5.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 5.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.2
Addiere und .
Schritt 5.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 5.3
Bei , die zweite Ableitung ist . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 6
Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
Schritt 6.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2
Addiere und .
Schritt 6.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Bei ist die zweite Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall .
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 7
Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt .
Schritt 8