Analysis Beispiele

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $3 x^{2} - 16 x - 12$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 16 x - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16 + 0$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $6 x - 16$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 16$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x - 16$ .

$6 x - 16$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x - 16 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$6 x - 16 = 0$

Schritt 3.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 16$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 16$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 16$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{16}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{16}{6}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{16}{6}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $6$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$x = \frac{2 (8)}{6}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{8}{3}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{8}{3}$ in $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{3}$ an.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Schritt 4.1.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 {(\frac{8}{3})}^{2} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Schritt 4.1.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{3}$ an.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 \frac{8^{2}}{3^{2}} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Schritt 4.1.2.1.5

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 \frac{64}{3^{2}} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Schritt 4.1.2.1.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 8 (\frac{64}{9}) - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Schritt 4.1.2.1.7

Multipliziere $- 8 (\frac{64}{9})$ .

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Schritt 4.1.2.1.7.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{64}{9}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 8 \cdot 64}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Schritt 4.1.2.1.7.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $64$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 512}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Schritt 4.1.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 12 (\frac{8}{3}) + 9$

Schritt 4.1.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.9.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} + 3 (- 4) (\frac{8}{3}) + 9$

Schritt 4.1.2.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} + 3 \cdot (- 4 (\frac{8}{3})) + 9$

Schritt 4.1.2.1.9.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 4 \cdot 8 + 9$

Schritt 4.1.2.1.10

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512}{9} - 32 + 9$

Schritt 4.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{512}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - (\frac{512}{9} \cdot \frac{3}{3}) - 32 + 9$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{512}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} - 32 + 9$

Schritt 4.1.2.2.3

Schreibe $- 32$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32}{1} + 9$

Schritt 4.1.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{- 32}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{27}{27} + 9$

Schritt 4.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 32}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + 9$

Schritt 4.1.2.2.6

Schreibe $9$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9}{1}$

Schritt 4.1.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{9}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Schritt 4.1.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{9}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.1.2.2.9

Stelle die Faktoren von $9 \cdot 3$ um.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.1.2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{512 \cdot 3}{27} + \frac{- 32 \cdot 27}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 512 \cdot 3 - 32 \cdot 27 + 9 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 512$ mit $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 32 \cdot 27 + 9 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $27$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 864 + 9 \cdot 27}{27}$

Schritt 4.1.2.4.3

Mutltipliziere $9$ mit $27$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1536 - 864 + 243}{27}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.5.1

Subtrahiere $1536$ von $512$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1024 - 864 + 243}{27}$

Schritt 4.1.2.5.2

Subtrahiere $864$ von $- 1024$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1888 + 243}{27}$

Schritt 4.1.2.5.3

Addiere $- 1888$ und $243$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 1645}{27}$

Schritt 4.1.2.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{1645}{27}$

Schritt 4.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1645}{27}$ .

$- \frac{1645}{27}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{8}{3}$ in $f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 9$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{8}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{8}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.5\overline{6}$ .

$f'' (2.5\overline{6}) = 6 (2.5\overline{6}) - 16$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $2.5\overline{6}$ .

$f'' (2.5\overline{6}) = 15.3\overline{9} - 16$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $16$ von $15.3\overline{9}$ .

$f'' (2.5\overline{6}) = - 0.6$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.6$ .

$- 0.6$

Schritt 6.3

Bei $2.5\overline{6}$ , die zweite Ableitung ist $- 0.6$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, \frac{8}{3})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{8}{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{8}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.7\overline{6}$ .

$f'' (2.7\overline{6}) = 6 (2.7\overline{6}) - 16$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $2.7\overline{6}$ .

$f'' (2.7\overline{6}) = 16.5\overline{9} - 16$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $16$ von $16.5\overline{9}$ .

$f'' (2.7\overline{6}) = 0.5\overline{9}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.5\overline{9}$ .

$0.5\overline{9}$

Schritt 7.3

Bei $2.7\overline{6}$ ist die zweite Ableitung $0.5\overline{9}$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{8}{3}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{8}{3}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$ .

$(\frac{8}{3}, - \frac{1645}{27})$

Schritt 9