Analysis Beispiele

$y = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{2}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 16 (2 x)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x]$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 24$ .

$12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} [32 x]$

Schritt 2.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [32 x]$ .

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Schritt 2.2.4.1

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32 x$ nach $x$ gleich $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32 \cdot 1$

Schritt 2.2.4.3

Mutltipliziere $32$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 32$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} - 48 x + 32$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} - 48 x + 32 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} - 48 x + 32 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{2} - 48 x + 32$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$4 (3 x^{2}) - 48 x + 32 = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 48 x$ heraus.

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x) + 32 = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x) + 4 (8) = 0$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (3 x^{2}) + 4 (- 12 x)$ heraus.

$4 (3 x^{2} - 12 x) + 4 (8) = 0$

Schritt 3.2.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (3 x^{2} - 12 x) + 4 (8)$ heraus.

$4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} - 12 x + 8$ durch $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 8 = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$3 x^{2} - 12 x + 8 = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 12$ und $c = 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 8)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.3

Subtrahiere $96$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

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Schritt 3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.3

Subtrahiere $96$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.4

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.7.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

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Schritt 3.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $8$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.8.1.3

Subtrahiere $96$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.8.1.4

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.8.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.8.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $3.15470053$ in $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.15470053$ .

$f (3.15470053) = {(3.15470053)}^{4} - 8 {(3.15470053)}^{3} + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $3.15470053$ mit $4$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 8 {(3.15470053)}^{3} + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $3.15470053$ mit $3$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 8 \cdot 31.39600717 + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $31.39600717$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 16 {(3.15470053)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4

Potenziere $3.15470053$ mit $2$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 16 \cdot 9.95213548$

Schritt 4.1.2.1.5

Mutltipliziere $16$ mit $9.95213548$ .

$f (3.15470053) = 99.04500074 - 251.16805742 + 159.23416778$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $251.16805742$ von $99.04500074$ .

$f (3.15470053) = - 152.12305667 + 159.23416778$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $- 152.12305667$ und $159.23416778$ .

$f (3.15470053) = 7.11111111$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $7.11111111$ .

$7.11111111$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $3.15470053$ in $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(3.15470053, 7.11111111)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(3.15470053, 7.11111111)$

Schritt 4.3

Ersetze $0.84529946$ in $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.84529946$ .

$f (0.84529946) = {(0.84529946)}^{4} - 8 {(0.84529946)}^{3} + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $0.84529946$ mit $4$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 8 {(0.84529946)}^{3} + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Potenziere $0.84529946$ mit $3$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 8 \cdot 0.60399282 + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0.60399282$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 16 {(0.84529946)}^{2}$

Schritt 4.3.2.1.4

Potenziere $0.84529946$ mit $2$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 16 \cdot 0.71453117$

Schritt 4.3.2.1.5

Mutltipliziere $16$ mit $0.71453117$ .

$f (0.84529946) = 0.5105548 - 4.83194257 + 11.43249887$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.3.2.2.1

Subtrahiere $4.83194257$ von $0.5105548$ .

$f (0.84529946) = - 4.32138776 + 11.43249887$

Schritt 4.3.2.2.2

Addiere $- 4.32138776$ und $11.43249887$ .

$f (0.84529946) = 7.\overline{1}$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $7.\overline{1}$ .

$7.\overline{1}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0.84529946$ in $f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(0.84529946, 7.\overline{1})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0.84529946, 7.\overline{1})$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(3.15470053, 7.11111111), (0.84529946, 7.\overline{1})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0.84529946) \cup (0.84529946, 3.15470053) \cup (3.15470053, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0.84529946)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.74529946$ .

$f'' (0.74529946) = 12 {(0.74529946)}^{2} - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $0.74529946$ mit $2$ .

$f'' (0.74529946) = 12 \cdot 0.55547128 - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0.55547128$ .

$f'' (0.74529946) = 6.66565544 - 48 \cdot 0.74529946 + 32$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $0.74529946$ .

$f'' (0.74529946) = 6.66565544 - 35.77437415 + 32$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $35.77437415$ von $6.66565544$ .

$f'' (0.74529946) = - 29.1087187 + 32$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 29.1087187$ und $32$ .

$f'' (0.74529946) = 2.89128129$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.89128129$ .

$2.89128129$

Schritt 6.3

Bei $0.74529946$ ist die zweite Ableitung $2.89128129$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 0.84529946)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0.84529946)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0.84529946, 3.15470053)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 32$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 32$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$f'' (2) = 48 - 48 \cdot 2 + 32$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $2$ .

$f'' (2) = 48 - 96 + 32$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $96$ von $48$ .

$f'' (2) = - 48 + 32$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 48$ und $32$ .

$f'' (2) = - 16$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 16$ .

$- 16$

Schritt 7.3

Bei $2$ , die zweite Ableitung ist $- 16$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0.84529946, 3.15470053)$

Abfallend im Intervall $(0.84529946, 3.15470053)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3.15470053, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.25470053$ .

$f'' (3.25470053) = 12 {(3.25470053)}^{2} - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $3.25470053$ mit $2$ .

$f'' (3.25470053) = 12 \cdot 10.59307559 - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $10.59307559$ .

$f'' (3.25470053) = 127.11690713 - 48 \cdot 3.25470053 + 32$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 48$ mit $3.25470053$ .

$f'' (3.25470053) = 127.11690713 - 156.22562584 + 32$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $156.22562584$ von $127.11690713$ .

$f'' (3.25470053) = - 29.1087187 + 32$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $- 29.1087187$ und $32$ .

$f'' (3.25470053) = 2.89128129$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.89128129$ .

$2.89128129$

Schritt 8.3

Bei $3.25470053$ ist die zweite Ableitung $2.89128129$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(3.15470053, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(3.15470053, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(0.84529946, 7.\overline{1}), (3.15470053, 7.11111111)$ .

$(0.84529946, 7.\overline{1}), (3.15470053, 7.11111111)$

Schritt 10