Analysis Beispiele

$y = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$

Schritt 1

Schreibe $y = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ als Funktion.

$f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 + 0$

Schritt 2.1.5.2

Addiere $- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4$ und $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x + 0$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $- 12 x^{2} + 24 x$ und $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 12 x^{2} + 24 x$ .

$- 12 x^{2} + 24 x$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 12 x^{2} + 24 x = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 12 x^{2} + 24 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 12 x$ aus $- 12 x^{2} + 24 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 12 x$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$- 12 x \cdot x + 24 x = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $- 12 x$ aus $24 x$ heraus.

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 2 = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $- 12 x$ aus $- 12 x (x) - 12 x (- 2)$ heraus.

$- 12 x (x - 2) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 12 x (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 + 2$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - 0 + 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 + 2$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{3} - 4 \cdot 0 + 2$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 2$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4 \cdot 0 + 2$

Schritt 4.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 2$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Schritt 4.1.2.2.3

Addiere $0$ und $2$ .

$f (0) = 2$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ ermittelt werden kann, ist $(0, 2)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 2)$

Schritt 4.3

Ersetze $2$ in $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - {(2)}^{4} + 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2 + 2$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (2) = - 1 \cdot 16 + 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2 + 2$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f (2) = - 16 + 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2 + 2$

Schritt 4.3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = - 16 + 4 \cdot 8 - 4 \cdot 2 + 2$

Schritt 4.3.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f (2) = - 16 + 32 - 4 \cdot 2 + 2$

Schritt 4.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (2) = - 16 + 32 - 8 + 2$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.3.2.2.1

Addiere $- 16$ und $32$ .

$f (2) = 16 - 8 + 2$

Schritt 4.3.2.2.2

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$f (2) = 8 + 2$

Schritt 4.3.2.2.3

Addiere $8$ und $2$ .

$f (2) = 10$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $10$ .

$10$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2$ in $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 2$ ermittelt werden kann, ist $(2, 10)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2, 10)$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 2), (2, 10)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 12 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.1$ mit $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 12 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 + 24 (- 0.1)$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $24$ mit $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 - 2.4$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $2.4$ von $- 0.12$ .

$f'' (- 0.1) = - 2.52$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2.52$ .

$- 2.52$

Schritt 6.3

Bei $- 0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 2.52$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, 0)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f'' (1) = - 12 {(1)}^{2} + 24 (1)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f'' (1) = - 12 \cdot 1 + 24 (1)$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f'' (1) = - 12 + 24 (1)$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$f'' (1) = - 12 + 24$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 12$ und $24$ .

$f'' (1) = 12$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $12$ .

$12$

Schritt 7.3

Bei $1$ ist die zweite Ableitung $12$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, 2)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, 2)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.1$ .

$f'' (2.1) = - 12 {(2.1)}^{2} + 24 (2.1)$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2.1$ mit $2$ .

$f'' (2.1) = - 12 \cdot 4.41 + 24 (2.1)$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $4.41$ .

$f'' (2.1) = - 52.92 + 24 (2.1)$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $24$ mit $2.1$ .

$f'' (2.1) = - 52.92 + 50.4$

Schritt 8.2.2

Addiere $- 52.92$ und $50.4$ .

$f'' (2.1) = - 2.52$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2.52$ .

$- 2.52$

Schritt 8.3

Bei $2.1$ , die zweite Ableitung ist $- 2.52$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(2, \infty)$

Abfallend im Intervall $(2, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 2), (2, 10)$ .

$(0, 2), (2, 10)$

Schritt 10