Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x {(x - 3)}^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 3)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 3)}^{3})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x - 3)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{3}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 3$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 3$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.4

Differenziere.

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Schritt 1.1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.4.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \cdot 1)$

Schritt 1.1.4.6

Mutltipliziere ${(x - 3)}^{3}$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3})$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Schritt 1.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Schritt 1.1.5.3

Faktorisiere $3 {(x - 3)}^{2}$ aus $9 x {(x - 3)}^{2} + 3 {(x - 3)}^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.5.3.1

Faktorisiere $3 {(x - 3)}^{2}$ aus $9 x {(x - 3)}^{2}$ heraus.

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{3}$

Schritt 1.1.5.3.2

Faktorisiere $3 {(x - 3)}^{2}$ aus $3 {(x - 3)}^{3}$ heraus.

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$

Schritt 1.1.5.3.3

Faktorisiere $3 {(x - 3)}^{2}$ aus $3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$ heraus.

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x + x - 3)$

Schritt 1.1.5.4

Addiere $3 x$ und $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (4 x - 3)$

Schritt 1.1.5.5

Schreibe ${(x - 3)}^{2}$ als $(x - 3) (x - 3)$ um.

$f' (x) = 3 ((x - 3) (x - 3)) (4 x - 3)$

Schritt 1.1.5.6

Multipliziere $(x - 3) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 3 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

Schritt 1.1.5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

Schritt 1.1.5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Schritt 1.1.5.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.5.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Schritt 1.1.5.7.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

Schritt 1.1.5.7.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (4 x - 3)$

Schritt 1.1.5.7.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)$

Schritt 1.1.5.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

Schritt 1.1.5.9

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.9.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

Schritt 1.1.5.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$

Schritt 1.1.5.10

Multipliziere $(3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Schritt 1.1.5.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.11.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Schritt 1.1.5.11.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.11.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Schritt 1.1.5.11.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.5.11.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Schritt 1.1.5.11.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Schritt 1.1.5.11.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Schritt 1.1.5.11.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Schritt 1.1.5.11.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Schritt 1.1.5.11.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x \cdot x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Schritt 1.1.5.11.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.5.11.6.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 (x \cdot x)) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Schritt 1.1.5.11.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x^{2}) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Schritt 1.1.5.11.7

Mutltipliziere $- 18$ mit $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Schritt 1.1.5.11.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

Schritt 1.1.5.11.9

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x + 27 \cdot - 3$

Schritt 1.1.5.11.10

Mutltipliziere $27$ mit $- 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

Schritt 1.1.5.12

Subtrahiere $72 x^{2}$ von $- 9 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

Schritt 1.1.5.13

Addiere $54 x$ und $108 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [162 x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{3}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 81 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 81 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 (2 x) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 81$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [162 x]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $162$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $162 x$ nach $x$ gleich $162 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 81)$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $162$ mit $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + \frac{d}{d x} (- 81)$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.5.1

Da $- 81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $36 x^{2} - 162 x + 162$ und $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $36 x^{2} - 162 x + 162$ .

$36 x^{2} - 162 x + 162$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $18$ aus $36 x^{2} - 162 x + 162$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $18$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$18 (2 x^{2}) - 162 x + 162 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $18$ aus $- 162 x$ heraus.

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 162 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $18$ aus $162$ heraus.

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 18 (9) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $18$ aus $18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x)$ heraus.

$18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $18$ aus $18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9)$ heraus.

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Schreibe $- 9$ um als $- 3$ plus $- 6$

$18 (2 x^{2} + (- 3 - 6) x + 9) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$18 (2 x^{2} - 3 x - 6 x + 9) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$18 ((2 x^{2} - 3 x) - 6 x + 9) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$18 (x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)) = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$18 ((2 x - 3) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.4

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 2.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{2}, 3$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $\frac{3}{2}$ in $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 3 (\frac{3}{2}) {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Multipliziere $3 (\frac{3}{2})$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 3}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

Schritt 3.1.2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 6}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2.5.2

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{3}$

Schritt 3.1.2.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.2.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3})$

Schritt 3.1.2.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}))$

Schritt 3.1.2.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3^{3}}{2^{3}})$

Schritt 3.1.2.9

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{2^{3}})$

Schritt 3.1.2.10

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{8})$

Schritt 3.1.2.11

Multipliziere $\frac{9}{2} (- \frac{27}{8})$ .

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Schritt 3.1.2.11.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{27}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{9 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.1.2.11.2

Mutltipliziere $9$ mit $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{2 \cdot 8}$

Schritt 3.1.2.11.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{16}$

Schritt 3.1.2.12

Die endgültige Lösung ist $- \frac{243}{16}$ .

$- \frac{243}{16}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{3}{2}$ in $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$

Schritt 3.3

Ersetze $3$ in $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = 3 (3) {((3) - 3)}^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = 9 {((3) - 3)}^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (3) = 9 \cdot 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (3) = 9 \cdot 0$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$f (3) = 0$

Schritt 3.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $3$ in $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(3, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(3, 0)$

Schritt 3.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{3}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.4$ .

$f'' (1.4) = 36 {(1.4)}^{2} - 162 \cdot 1.4 + 162$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $1.4$ mit $2$ .

$f'' (1.4) = 36 \cdot 1.96 - 162 \cdot 1.4 + 162$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $1.96$ .

$f'' (1.4) = 70.56 - 162 \cdot 1.4 + 162$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 162$ mit $1.4$ .

$f'' (1.4) = 70.56 - 226.8 + 162$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $226.8$ von $70.56$ .

$f'' (1.4) = - 156.24 + 162$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 156.24$ und $162$ .

$f'' (1.4) = 5.76$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $5.76$ .

$5.76$

Schritt 5.3

Bei $1.4$ ist die zweite Ableitung $5.76$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, \frac{3}{2})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \frac{3}{2})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{3}{2}, 3)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.25$ .

$f'' (2.25) = 36 {(2.25)}^{2} - 162 \cdot 2.25 + 162$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $2.25$ mit $2$ .

$f'' (2.25) = 36 \cdot 5.0625 - 162 \cdot 2.25 + 162$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $5.0625$ .

$f'' (2.25) = 182.25 - 162 \cdot 2.25 + 162$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 162$ mit $2.25$ .

$f'' (2.25) = 182.25 - 364.5 + 162$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $364.5$ von $182.25$ .

$f'' (2.25) = - 182.25 + 162$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 182.25$ und $162$ .

$f'' (2.25) = - 20.25$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 20.25$ .

$- 20.25$

Schritt 6.3

Bei $2.25$ , die zweite Ableitung ist $- 20.25$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\frac{3}{2}, 3)$

Abfallend im Intervall $(\frac{3}{2}, 3)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3.1$ .

$f'' (3.1) = 36 {(3.1)}^{2} - 162 \cdot 3.1 + 162$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $3.1$ mit $2$ .

$f'' (3.1) = 36 \cdot 9.61 - 162 \cdot 3.1 + 162$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $9.61$ .

$f'' (3.1) = 345.96 - 162 \cdot 3.1 + 162$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 162$ mit $3.1$ .

$f'' (3.1) = 345.96 - 502.2 + 162$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $502.2$ von $345.96$ .

$f'' (3.1) = - 156.24 + 162$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $- 156.24$ und $162$ .

$f'' (3.1) = 5.76$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $5.76$ .

$5.76$

Schritt 7.3

Bei $3.1$ ist die zweite Ableitung $5.76$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(3, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(3, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

Schritt 9