Analysis Beispiele

Ermittle die kritischen Punkte x-2sin(x)
Schritt 1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1.1
Differenziere.
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Schritt 1.1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.1.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 1.1.2
Berechne .
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Schritt 1.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 2.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.3.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 2.3.3.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 2.4
Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Kosinus herauszuziehen.
Schritt 2.5
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 2.5.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 2.6
Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.
Schritt 2.7
Vereinfache .
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Schritt 2.7.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.7.2
Kombiniere Brüche.
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Schritt 2.7.2.1
Kombiniere und .
Schritt 2.7.2.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.7.3
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 2.7.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.7.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.8
Ermittele die Periode von .
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Schritt 2.8.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 2.8.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 2.8.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 2.8.4
Dividiere durch .
Schritt 2.9
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 4.1
Berechne bei .
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Schritt 4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 4.1.2
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 4.1.2.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.1.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.1.2.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.1.2.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.1.2.3
Schreibe als um.
Schritt 4.2
Berechne bei .
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Schritt 4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 4.2.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.1
Subtrahiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 4.2.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.2.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.2.2.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.2.3.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.2.4
Schreibe als um.
Schritt 4.3
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.1
Ersetze durch .
Schritt 4.3.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1
Subtrahiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 4.3.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.3.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.2.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.2.3.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.2.4
Schreibe als um.
Schritt 4.4
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.4.1
Ersetze durch .
Schritt 4.4.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.4.2.1
Subtrahiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 4.4.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.4.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.4.2.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.4.2.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.4.2.3.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.4.2.4
Schreibe als um.
Schritt 4.5
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.1
Ersetze durch .
Schritt 4.5.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1
Subtrahiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 4.5.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.5.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.5.2.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.5.2.3.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.5.2.4
Schreibe als um.
Schritt 4.6
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.6.1
Ersetze durch .
Schritt 4.6.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.6.2.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.
Schritt 4.6.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.6.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.6.2.3.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 4.6.2.3.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.6.2.3.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.6.2.3.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.6.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.6.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.7
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.7.1
Ersetze durch .
Schritt 4.7.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.7.2.1
Subtrahiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 4.7.2.2
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.
Schritt 4.7.2.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.7.2.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.7.2.4.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 4.7.2.4.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.7.2.4.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.7.2.4.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.7.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.7.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.8
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.8.1
Ersetze durch .
Schritt 4.8.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.8.2.1
Subtrahiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 4.8.2.2
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.
Schritt 4.8.2.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.8.2.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.8.2.4.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 4.8.2.4.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.8.2.4.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.8.2.4.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.8.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.8.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.9
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.9.1
Ersetze durch .
Schritt 4.9.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.9.2.1
Subtrahiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 4.9.2.2
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.
Schritt 4.9.2.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.9.2.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.9.2.4.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 4.9.2.4.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.9.2.4.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.9.2.4.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.9.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.9.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.10
Berechne bei .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.10.1
Ersetze durch .
Schritt 4.10.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.10.2.1
Subtrahiere ganze Umdrehungen von , bis der Winkel größer oder gleich und kleiner als ist.
Schritt 4.10.2.2
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.
Schritt 4.10.2.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.10.2.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.10.2.4.1
Bringe das führende Minuszeichen in in den Zähler.
Schritt 4.10.2.4.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.10.2.4.3
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.10.2.4.4
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.10.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.10.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.11
Liste all Punkte auf.
Schritt 5