Analysis Beispiele

Ermittle die kritischen Punkte sin(x)-cos(x)
Schritt 1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Bestimme die erste Ableitung.
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Schritt 1.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 1.1.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.1.3
Berechne .
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Schritt 1.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 1.1.3.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 1.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.1.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.2
Die erste Ableitung von nach ist .
Schritt 2
Setze die erste Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
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Schritt 2.1
Setze die erste Ableitung gleich .
Schritt 2.2
Teile jeden Term in der Gleichung durch .
Schritt 2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 2.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.3.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 2.4
Wandle von nach um.
Schritt 2.5
Separiere Brüche.
Schritt 2.6
Wandle von nach um.
Schritt 2.7
Dividiere durch .
Schritt 2.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.9
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.10
Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um aus dem Tangens herauszuziehen.
Schritt 2.11
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 2.11.1
Der genau Wert von ist .
Schritt 2.12
Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.
Schritt 2.13
Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.
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Schritt 2.13.1
Addiere zu .
Schritt 2.13.2
Der resultierende Winkel von ist positiv und gleich .
Schritt 2.14
Ermittele die Periode von .
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Schritt 2.14.1
Die Periode der Funktion kann mithilfe von berechnet werden.
Schritt 2.14.2
Ersetze durch in der Formel für die Periode.
Schritt 2.14.3
Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen und ist .
Schritt 2.14.4
Dividiere durch .
Schritt 2.15
Addiere zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.
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Schritt 2.15.1
Addiere zu , um den positiven Winkel zu bestimmen.
Schritt 2.15.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.15.3
Kombiniere Brüche.
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Schritt 2.15.3.1
Kombiniere und .
Schritt 2.15.3.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.15.4
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 2.15.4.1
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 2.15.4.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.15.5
Liste die neuen Winkel auf.
Schritt 2.16
Die Periode der Funktion ist , d. h., Werte werden sich alle rad in beide Richtungen wiederholen.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 3
Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.
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Schritt 3.1
Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 4
Werte an jeden Wert aus, wo die Ableitung ist oder nicht definiert ist.
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Schritt 4.1
Berechne bei .
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Schritt 4.1.1
Ersetze durch .
Schritt 4.1.2
Vereinfache.
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Schritt 4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 4.1.2.1.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 4.1.2.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.1.2.1.3
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.
Schritt 4.1.2.1.4
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.1.2.1.5
Multipliziere .
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Schritt 4.1.2.1.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.1.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.2
Vereinfache Terme.
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Schritt 4.1.2.2.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.1.2.2.2
Addiere und .
Schritt 4.1.2.2.3
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 4.1.2.2.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.1.2.2.3.2
Dividiere durch .
Schritt 4.2
Berechne bei .
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Schritt 4.2.1
Ersetze durch .
Schritt 4.2.2
Vereinfache.
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Schritt 4.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 4.2.2.1.1
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.
Schritt 4.2.2.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.2.2.1.3
Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.
Schritt 4.2.2.1.4
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.2.2.2
Vereinfache Terme.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.2.1
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.2.2.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.2.2.2.3
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.2.2.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.2.3.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
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Schritt 4.2.2.2.3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.2.2.2.3.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.2.2.2.3.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.2.2.2.3.2.4
Dividiere durch .
Schritt 4.3
Liste all Punkte auf.
, für jede Ganzzahl
, für jede Ganzzahl
Schritt 5