Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 12 x + 1$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 12 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $3 x^{2} - 12$ und $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 12$ .

$3 x^{2} - 12$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 12 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 12 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 12$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 12$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 12$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $12$ durch $3$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $2, - 2$ .

$2, - 2$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f' (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} - 12$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (- 3) = 3 \cdot 9 - 12$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$f' (- 3) = 27 - 12$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $12$ von $27$ .

$f' (- 3) = 15$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $15$ .

$15$

Schritt 5.3

Bei $x = - 3$ ist die Ableitung $15$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 2)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 2)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 12$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $12$ von $0$ .

$f' (0) = - 12$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12$ .

$- 12$

Schritt 6.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $- 12$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 2, 2)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 2, 2)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 12$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Multipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.1.1.1

Mutltipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 12$

Schritt 7.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (3) = 3^{1 + 2} - 12$

Schritt 7.2.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (3) = 3^{3} - 12$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f' (3) = 27 - 12$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $12$ von $27$ .

$f' (3) = 15$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $15$ .

$15$

Schritt 7.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $15$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(2, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(2, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 2, 2)$

Schritt 9