Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - 2 + 0$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$f' (x) = 2 x - 2$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - 2 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 2$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$x = 1$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $1$ .

$1$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = 2 x - 2$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 2 (0) - 2$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f' (0) = - 2$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 5.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $- 2$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 2 (2) - 2$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f' (2) = 2$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 6.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $2$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 1)$

Schritt 8